Matrix aus Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Do 05.09.2013 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | (a) Man finde die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] .
(b) Man finde eine Matrix P, so dass [mm] PAP^{-1} [/mm] Diagonalform hat. |
Hallo Zusammen
Zuerst berechne ich die Eigenwerte:
[mm] \lambda1 [/mm] = 1, [mm] \lambda2 [/mm] = 3
Daraus die Eigenvektoren:
v1 = [mm] \vektor{1 \\ -1}, [/mm] v1 = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Nun zu b) und meiner eigentlichen Frage:
In der Aufgabenstellung steht D = [mm] PAP^{-1}. [/mm] In verschiedenen Bücher findet man auch die Definitionen:
i) D = [mm] T^{-1}AT [/mm] und
ii) A = [mm] TDT^{-1}
[/mm]
Ich kann ja nun aus den Eigenvektoren eine Matrix bilden: [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }. [/mm]
Wichtig ist das die Reihenfolge der Vektoren mit den Eigenwerten in der Diagonalmatrix übereinstimmt.
Ist diese Matrix aus Eigenvektoren nun P oder [mm] P^{-1}? [/mm]
Kommt das auf die Definition an oder wie bestimme ich das? Ist es einfach immer das was Rechts von der Matrix in der Definition steht? Das wäre dann [mm] P^{-1}?
[/mm]
Danke und Gruss
Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Do 05.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> (a) Man finde die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A
> = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm] .
> (b) Man finde eine Matrix P, so dass [mm]PAP^{-1}[/mm] Diagonalform
> hat.
>
> Hallo Zusammen
>
> Zuerst berechne ich die Eigenwerte:
>
> [mm]\lambda1[/mm] = 1, [mm]\lambda2[/mm] = 3
>
> Daraus die Eigenvektoren:
>
> v1 = [mm]\vektor{1 \\ -1},[/mm] v1 = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Nun zu b) und meiner eigentlichen Frage:
>
> In der Aufgabenstellung steht D = [mm]PAP^{-1}.[/mm]
> In
> verschiedenen Bücher findet man auch die Definitionen:
> i) D = [mm]T^{-1}AT[/mm]
Das sind doch nur Bezeichnungsweisen !
Von D = [mm]PAP^{-1}.[/mm] auf D = [mm]T^{-1}AT[/mm] kommst Du , indem Du setzt:
[mm] T:=P^{-1}
[/mm]
> und
> ii) A = [mm]TDT^{-1}[/mm]
>
> Ich kann ja nun aus den Eigenvektoren eine Matrix bilden:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }.[/mm]
> Wichtig ist das die Reihenfolge der Vektoren mit den
> Eigenwerten in der Diagonalmatrix übereinstimmt.
>
> Ist diese Matrix aus Eigenvektoren nun P oder [mm]P^{-1}?[/mm]
Mit der Bezeichnungsweise D = $ [mm] PAP^{-1}$ [/mm] ist es die Matrix P, wie Du durch einfaches Nachrechnen hättest selbst feststellen können.
FRED
> Kommt das auf die Definition an oder wie bestimme ich das?
> Ist es einfach immer das was Rechts von der Matrix in der
> Definition steht? Das wäre dann [mm]P^{-1}?[/mm]
>
> Danke und Gruss
>
> Franhu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 05.09.2013 | | Autor: | Franhu |
Danke aber das hilft mir nicht viel weiter. Natürlich weiss ich das ich es nachrechnen kann.
Ist dies aber die einzige Möglichkeit dies herauszufinden? ich denke nicht und darum habe ich gefragt. An einer Prüfung ist dies eine kurze Aufgabe und wenn die Matrix grösser ist, möchte ich nicht zu viel Zeit mit nachrechnen verbringen...
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 05.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke aber das hilft mir nicht viel weiter.
Was ? Ich hab Dir doch geschrieben:
"Mit der Bezeichnungsweise D = $ [mm] PAP^{-1} [/mm] $ ist es die Matrix P"
Was willst Du noch ?
FRED
> Natürlich
> weiss ich das ich es nachrechnen kann.
>
> Ist dies aber die einzige Möglichkeit dies herauszufinden?
> ich denke nicht und darum habe ich gefragt. An einer
> Prüfung ist dies eine kurze Aufgabe und wenn die Matrix
> grösser ist, möchte ich nicht zu viel Zeit mit
> nachrechnen verbringen...
>
> Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Do 05.09.2013 | | Autor: | Franhu |
Ach sch**! Tut mir leid. Ich hab die Matrix aus den Vektoren falsch aufgeschrieben, darum stimmte das Resultat nicht mit meiner korrigierten Übung überein.
Normalerweise schreibe ich den Vektor des 1. Eigenwerts in die 1. Spalte und der des zweiten Eigenwerts in die 2. Spalte
Dann wäre also P = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }. [/mm]
und somit müsste P * A * [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 }?
[/mm]
Nun gibt es bei mir aber [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1}. [/mm] Wenn ich [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] dann stimmt es. Auf was muss ich nun achten?
Danke und gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Do 05.09.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ach sch**! Tut mir leid. Ich hab die Matrix aus den
> Vektoren falsch aufgeschrieben, darum stimmte das Resultat
> nicht mit meiner korrigierten Übung überein.
> Normalerweise schreibe ich den Vektor des 1. Eigenwerts in
> die 1. Spalte und der des zweiten Eigenwerts in die 2.
> Spalte
Das ist auch die übliche Notation
>
> Dann wäre also P = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }.[/mm]
Ja
>
> und somit müsste P * A * [mm]P^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 }?[/mm]
>
> Nun gibt es bei mir aber [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1}.[/mm] Wenn ich
> [mm]P^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm] dann stimmt es.
Invertiere mal [mm] P=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Dein [mm] P^{-1} [/mm] stimmt nicht.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 05.09.2013 | | Autor: | Franhu |
Hallo
Es ist mir nicht klar ob die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }, P^{-1} [/mm] oder P ist.
Wenn ich [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] nehme dann ist P = [mm] (P^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{0.5 & -0.5 \\ 0.5 & 0.5 }
[/mm]
Und somit ist D = [mm] PAP^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3}, [/mm] was mit meinen Eigenwerten übereinstimmt. e1 = 1 und e2 = 3.
Fange ich aber andersrum an, und nehme P = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] dann stimmt die Gleichung nicht.
Verstehst du was ich versuche herauszufinden?
Vielen Dank.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Du hast die Matrix Matrix
A = \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
mit den Eigenwerten
$ \lambda_1 $ = 1, $ \lambda_2 $ = 3
und den zugehörigen Eigenvektoren
v_1 = $ \vektor{1 \\ -1}, $ v_2 = $ \vektor{1 \\ 1} $.
Gesucht ist nun eine Matrix P, so daß PAP^{-1}=diag(1,3}.
> Wenn ich [mm]P^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm] nehme dann ist P
> = [mm](P^{-1})^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{0.5 & -0.5 \\ 0.5 & 0.5 }[/mm]
>
> Und somit ist D = [mm]PAP^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3},[/mm] was
> mit meinen Eigenwerten übereinstimmt. e1 = 1 und e2 = 3.
>
> Fange ich aber andersrum an, und nehme P = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
> dann stimmt die Gleichung nicht.
>
> Verstehst du was ich versuche herauszufinden?
Ja, ich verstehe das - glaube ich zumindest:
Du möchtest wissen, wie Du herausbekommen kannst, ob die Matrix, die die Eigenvektoren in ihren Spalten enthält, in der Formel [mm] D=PAP^{-1} [/mm] die Matrix P ider die Matrix [mm] P^{-1} [/mm] ist.
Und zwar möchtest Du das ohne zu experimentieren herausfinden.
Mir hilft gegen das Wirrwarr, welches bei diesen Aufgaben leicht entsteht, die Formulierung der Aufgabe in einer etwas anderen Sprache.
Ich gehe davon aus, daß Darstellungsmatrizen bekannt sind.
Zunächst unabhängig von Deiner Aufgabe zur von mir verwendeten Schreibweise:
[mm] _CM(g)_B [/mm] steht hier für die Matrix, welche die Abbildung g bzgl. der Basen B im Startraum und C im Zielraum darstellt.
In dieser Schreibweise ist [mm] _CM(id)_B [/mm] die Matrix, welche Koordinatenvektoren die bzgl. B gegeben sind, in solche bzgl C umwandelt.
Nun zur Aufgabe:
Deine Matrix A ist die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung [mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] bzgl. der Standardbasis E.
Also ist [mm] A=_EM(f)_E.
[/mm]
Gesucht ist nun eine Basis B, bzgl derer die Darstellungsmatrix von f die Matrix diag(1,3) ist, es soll also [mm] _BM(f)_B=diag(1,3) [/mm] sein.
Eine solche Basis kennst Du bereits, nämlich die von Dir berechnete Basis aus Eigenvektoren.
Die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }, [/mm] welche die Eigenvektoren in ihren Spalten enthält, ist die Matrix, welche aus Vektoren, die bzgl. der Eigenbasis B gegeben sind, solche bzgl. Standardkoordinaten macht.
Also ist [mm] _EM(id)_B=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }.
[/mm]
Die Transformationsformel sagt Dir nun
[mm] _BM(f)_B=_BM(id)_E*_EM(f)_E*_EM(id)_B,
[/mm]
also ist
[mm] diag(1,3)=_BM(id)_E*\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }*\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }^{-1}*\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }*\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Tja, und da nun die erste Matrix lt. Vorgabe P heißen soll,
haben wir halt [mm] P=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }^{-1} [/mm] und [mm] P^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Do 05.09.2013 | | Autor: | Franhu |
Hallo Angela
Du hast meine Frage genau richtig verstanden!
Ich habe mir das ganze noch nie mit Darstellungsmatrizen angeschaut, aber deine Erklärung hat mir weitergeholfen!
Vielen Dank und noch einen schönen Tag.
Gruss Franhu
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