Matrix berechnen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 31.12.2007 | | Autor: | mcyonx |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Matrizen [mm] _{B}(1_{v})_{B'} [/mm] , [mm] _{B'}(1_{v})_{B} [/mm] wobei [mm] 1_{v} [/mm] die identische Abbildung von [mm] V=\IR³ [/mm] sei.
B ist die kanonische Basis vom [mm] \IR³ [/mm] und B' besteht aus den Vektoren (1,1,2), (4,1,1) und (1,1,1). |
Hallo.
Ich komme bei der Aufgabe überhaupt noch zurande. [mm] 1_{v} [/mm] ist die Matrix die jedem Vektoren wieder sich selber zuordnet. Aber wie rechne ich nun die Matrizen aus? Ich habe mein Skript schon mehrmals durchgelesen, aber nicht recht verstanden, wie es gehen soll. Es wäre nett, wenn einer ein Beispiel oder so geben kann.
Gruß
mcyonx
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die Matrizen [mm]_{B}(1_{v})_{B'}[/mm] ,
> [mm]_{B'}(1_{v})_{B}[/mm] wobei [mm]1_{v}[/mm] die identische Abbildung von
> [mm]V=\IR³[/mm] sei.
>
> B ist die kanonische Basis vom [mm]\IR³[/mm] und B' besteht aus den
> Vektoren (1,1,2), (4,1,1) und (1,1,1).
Hallo,
Sei [mm] B'=(b_1, b_2, b_3)
[/mm]
[mm] _{B}(1_{v})_{B'} [/mm] ist die Matrix, welche folgendes leisten soll:
Du steckst einen Vektor in Koordinaten bzgl. B' hinein, und heraus kommt derselbe Vektor in Koordinaten bzgl. B.
Wie kommst Du zu der Matrix?
Du weißt, daß in den Spalten die Bilder der Basisvektoren stehen.
Sei t die Abbildung zur Matrix.
Du mußt also berechnen
[mm] t(b_1), t(b_2), t(b_3).
[/mm]
Was ist [mm] t(b_1)? [/mm]
Es ist der erste Basisvektor v. B',
dargestellt in Koordinaten bzgl. der kanonischen Basis B, also ist
[mm] t(b_1)=\vektor{1 \\ 1\\ 2}.
[/mm]
Ich vermute, daß Du nun sehr leicht [mm] t(b_2) [/mm] und [mm] t(b_3) [/mm] bestimmen kannst.
Damit hast Du dann Deine erste Matrix [mm] _{B}(1_{v})_{B'}.
[/mm]
Die Matrix [mm] _{B'}(1_{v})_{B} [/mm] tut genau das Umgekehrte:
sie liefert Dir für Vektoren in Koordinaten bzgl der kanonischen Basis die Darstellung in Koordinaten bzgl. B'.
Du mußt Dir hierfür also überlegen, wie Du [mm] \vektor{1 \\0\\ 0}, \vektor{0 \\1\\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\0\\ 1} [/mm] als Linearkombination der [mm] b_i [/mm] schreiben kannst.
Sehr einfach erhältst Du [mm] _{B'}(1_{v})_{B}, [/mm] indem Du einfach die zuvor berechnete Matrix
[mm] _{B}(1_{v})_{B'} [/mm] invertierst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 02.01.2008 | | Autor: | mcyonx |
Also wenn t(b1)=(1,1,2) dann nehme ich mal an, dass t(b2)=(4,1,1) und t(b3)=(1,1,1) ist und die gesuchte Matrix sich aus den drei Vektoren zusammensetzt.
In diesem Fall scheint ja t(b1)=b1 zu sein, aber wie ist das im zweiten Fall, bzw. wie bestimme ich das t?
Gruß mcyonx
|
|
|
| |
|
> Also wenn t(b1)=(1,1,2) dann nehme ich mal an, dass
> t(b2)=(4,1,1) und t(b3)=(1,1,1) ist und die gesuchte Matrix
> sich aus den drei Vektoren zusammensetzt.
> In diesem Fall scheint ja t(b1)=b1 zu sein, aber wie ist
> das im zweiten Fall, bzw. wie bestimme ich das t?
Hallo,
Diese ominöse Abbildung verändert den Vektor ja überhaupt nicht. Der Bleistift (Vektor), der auf dem Papier vor Dir liegt, ist nach der Anwendung der Abbldung unverändert.
Du gibst ihn bloß in Koordniaten bzgl einer anderen Basis an.
Der Vektor [mm] b_1 [/mm] hat bzgl [mm] B'=(b_1, b_2, b_3) [/mm] die Koordinaten [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_{B'},
[/mm]
seine Koordinaten bzgl der Standardbasis B sind [mm] \vektor{1 \\ 1\\2}_{B}
[/mm]
also wird [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] auf [mm] \vektor{1 \\ 1\\2} [/mm] abgebildet, die anderen entsprechend.
Du brauchst nun also nur diese Koordinaten bzgl der Standardbasis in eine Matrix zu schreiben, schwupps hast Du die erste Transformationsmatrix $ [mm] _{B}(1_{v})_{B'} [/mm] $ gefunden.
Die zweite Abbildung verändert Deinen Bleistift (Vektor) auch nicht. Sie sagt Dir nur, wie Du ihn, wenn er in Koordinaten bzgl der Standardbasis gegeben ist, in solche bzgl B' umwandeln kannst, und die entsprechende Matrix bekommst Du sofort, indem Du die Matrix v. oben invertierst.
Du kannst Dir aber auch peu a peu ausrechnen
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_{B}= ?_1*b_1+?_2*b_2+?_3*b_3= \vektor{?_1 \\ ?_2\\?_3}_{B'},
[/mm]
und diese Spalten in die Matrix schreiben.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
