Matrix berechnen (2) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne [mm] A^{1001} [/mm] für
[mm] A=\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 } [/mm] |
meine vorgehensweise:
[mm] A^2=A*A=\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }*\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }=\pmat{ 1 & -4 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^4=A^2*A^2=\pmat{ 1 & -4 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & -4 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & -8 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^8=A^4*A^4=\pmat{ 1 & -8 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & -8 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & -16 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^{16}=A^8*A^8=\pmat{ 1 & -16 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & -16 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & -32 \\ 0 & 1 }
[/mm]
nun erkenne ich, dass sich das schema immer wieder wiederholt also:
[mm] A^{1000}=\pmat{ 1 & -2000 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^{1001}=A^{1000}*A^1=\pmat{ 1 & -2000 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }=\pmat{ 5996 & 7995 \\ 3 & -4 }
[/mm]
richtig gelöst?
|
|
| |
|
> Man berechne [mm]A^{1001}[/mm] für
>
>
> [mm]A=\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }[/mm]
> meine vorgehensweise:
>
> [mm]A^2=A*A=\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }*\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }=\pmat{ 1 & -4 \\ 0 & 1 }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Schade, denn damit werden die weiteren Ergebnisse nicht richtiger. Es ist
[mm]A^2=\pmat{1 & 0\\0 & 1}[/mm]
Aber mit dieser Einsicht wird natürlich die Berechnung von [mm] $A^{1001}$ [/mm] noch einfacher, als Du gedacht hast.
> [mm]A^{1001}=A^{1000}*A^1=\pmat{ 1 & -2000 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 4 & -5 \\ 3 & -4 }=\pmat{ 5996 & 7995 \\ 3 & -4 }[/mm]
>
> richtig gelöst?
Nein, es ist
[mm]A^{1001}=(A^2)^{500}\cdot A=A=\pmat{4 & -5\\3 & -4}[/mm]
|
|
|
| |
|
oh stimmt hab mich verrechnet krieg jetzt dasselbe wie du heraus.
wenn ich [mm] (A^2)^{500} [/mm] rechne dann potenziere ich jede zahl in der matrix mit 500 stimmts? (ich glaub die zahlen in den matritzen werde adjunkten genannt oder?)
|
|
|
| |
|
> oh stimmt hab mich verrechnet krieg jetzt dasselbe wie du
> heraus.
>
> wenn ich [mm](A^2)^{500}[/mm] rechne dann potenziere ich jede zahl
> in der matrix mit 500 stimmts?
Ja, weil [mm] $A^2$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist. Aber: dies gilt lediglich für Diagonalmatrizen. Für $A$ selbst stimmt dies nicht:
$ [mm] A^2=\pmat{1 & 0\\0 & 1} [/mm] =: E $
Der Punkt war der: für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt
[mm] [center]$E^n=\pmat{1 & 0\\0 & 1}^n=\pmat{1 & 0\\0 & 1}$[/center]
[/mm]
Daher ist auch [mm] $A^{1000}=(A^2)^{500}=E^{500}=E$.
[/mm]
> (ich glaub die zahlen in den
> matritzen werde adjunkten genannt oder?)
Der Begriff Adjunkte gehört in die Theorie der Determinanten: die brauchst Du z.B., wenn Du eine Determinante nach einer Zeile oder einer Spalte entwickelst.
|
|
|
| |
|
> >
> > wenn ich [mm](A^2)^{500}[/mm] rechne dann potenziere ich jede zahl
> > in der matrix mit 500 stimmts?
>
> Ja, weil [mm]A^2[/mm] eine Diagonalmatrix ist. Aber: dies gilt
> lediglich für Diagonalmatrizen. Für [mm]A[/mm] selbst stimmt dies
> nicht
>
aber dies gilt für alle diagonalmatritzen nicht bloß für einheitsmatritzen ja? gilt das nur für diagonalmatritzen mit hauptdiagonalen oder auch für matritzen deren diagonale eine nebendiagonale ist?
|
|
|
| |
|
> > >
> > > wenn ich [mm](A^2)^{500}[/mm] rechne dann potenziere ich jede zahl
> > > in der matrix mit 500 stimmts?
> >
> > Ja, weil [mm]A^2[/mm] eine Diagonalmatrix ist. Aber: dies gilt
> > lediglich für Diagonalmatrizen. Für [mm]A[/mm] selbst stimmt dies
> > nicht
> >
>
> aber dies gilt für alle diagonalmatritzen nicht bloß für
> einheitsmatritzen ja?
Ja. Die $n$-te Potenz einer Diagonalmatrix $D$ ist einfach die Diagonalmatrix deren Diagonalelemente die $n$-ten Potenzen der Diagonalelemente von $D$ sind. Falls sich eine gegebene Matrix $A$ diagonalisieren lässt, kann man $n$-te Potenzen berechnen, indem verwendet, dass es eine Matrix $T$ gibt, so dass [mm] $D=T^{-1}\cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] T$ diagonal ist und daher [mm] $A^n=(T\cdot [/mm] D [mm] \cdot T^{-1})^n=T\cdot D^n \cdot T^{-1}$.
[/mm]
> gilt das nur für diagonalmatritzen
> mit hauptdiagonalen oder auch für matritzen deren diagonale
> eine nebendiagonale ist?
Du kannst es an einem einfachen Beispiel selbst sehen, was in diesem Falle so etwa geschehen kann:
[mm]A := \pmat{0&a\\b&0},\Rightarrow A^2=\pmat{ab & 0\\0 & ab}, A^3=\pmat{0 & a^2b\\a^2b & 0},A^4 = \pmat{a^2b^2 & 0\\0 & a^2b^2}[/mm]
Die Berechnung Potenzen von Matrizen, bei denen nur Elemente der Nebendiagonale [mm] $\neq [/mm] 0$ sind, ist also zumindest eine Spur weniger simpel als die Berechnung von Potenzen von Diagonalmatrizen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Sa 02.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
okay, danke für den hinweis, das wird mir bestimmt die ein oder andere rechnung erleichtern.
|
|
|
|
