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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Do 15.03.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über einen Körper K mit Basis [mm] (v_{1},...,v_{n}). [/mm] Weiter seien [mm] a_{1},...,a_{n-1} [/mm] beliebige Elemente von K. Die Vorgaben
[mm] \phi(v_{i})=\begin{cases} v_{i+1}, & \mbox{für } i
legen einen Endomorphismus [mm] \phi [/mm] von V fest.
a) Man bestimme die Matrix von [mm] \phi [/mm] bezüglich der gegebenen Basis.
b) Man bestimme das charakteristische Polynom von [mm] \phi. [/mm] |
Nun also ich nehme mal an, ich muss die Vorgabe als Vorschrift benutzen, um auf meine Matrix zu kommen.
Leider weiss ich nicht genau, wie ich dies machen muss.
Teilaufgabe b denke ich kann ich dann lösen, indem ich das charakteristische Polynom mit Hilfe der Formel [mm] det(t*E_{n}-A) [/mm] verwende (mit A ist die Matrix von [mm] \phi [/mm] bez. der gegebenen Basis gemeint)
Das sollte dann eigentlich nicht mehr ein Problem sein.
Nur fehlt mir eben die Matrix dazu, da ich nicht genau weiss, wie diese bilden.
Was steht denn in den Zeilen und was in den Spalten?
Danke für die Hilfe im Voraus.
mfg :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Do 15.03.2012 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
Dein Text ist (fast) nicht lesbar.
Bitte nachbessern!
Gruß korbinian
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> Es sei V ein Vektorraum über einen Körper K mit Basis
> [mm](v_{1},...,v_{n}).[/mm] Weiter seien [mm]a_{1},...,a_{n-1}[/mm] beliebige
> Elemente von K. Die Vorgaben
>
> [mm]\phi(v_{i})=\begin{cases} v_{i+1}, & \mbox{für } i
>
> legen einen Endomorphismus [mm]\phi[/mm] von V fest.
> a) Man bestimme die Matrix von [mm]\phi[/mm] bezüglich der
> gegebenen Basis.
> b) Man bestimme das charakteristische Polynom von [mm]\phi.[/mm]
> Nun also ich nehme mal an, ich muss die Vorgabe als
> Vorschrift benutzen, um auf meine Matrix zu kommen.
>
Richtig!
Diese Vorgabe gibt Dir die Bilder der Basisvektoren als Linearkombination der Basisvektoren. Sie ist für die ersten n-1 so einfach, dass Du sie vielleicht nicht sofort als "Linearkombination" erkennst.
Wie Du daraus die Matrix erstellst findest Du sicher in Deinem Skript. Etwa "Die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren sind...."
Ich hoffe damit kommst Du weiter
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 15.03.2012 | | Autor: | unibasel |
Nun dann sollte dies folgendermassen aussehen?
[mm] A=\pmat{ a_{1}v_{1} & 0 & ... & ... & 0 \\ v_{1} & a_{2}v_{2} & 0 & ... & 0 \\ v_{?} & v_{?} & a_{3}v_{3} & 0 & 0 \\ ... & ... & & & a_{n}v_{n}}
[/mm]
Hmm bin ein wenig verwirrt...
für i=n, das heisst in der Diagonale.
Und für i<n wäre das in der unteren Hälfte der Matrix?
Wie sieht diese dann genau aus? Danke vielmals für die Hilfe :)
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> Nun dann sollte dies folgendermassen aussehen?
>
> [mm]A=\pmat{ a_{1}v_{1} & 0 & ... & ... & 0 \\ v_{1} & a_{2}v_{2} & 0 & ... & 0 \\ v_{?} & v_{?} & a_{3}v_{3} & 0 & 0 \\ ... & ... & & & a_{n}v_{n}}[/mm]
>
Leider nicht.
In der Matrix dürfen nur Elemente aus dem Körper stehen; nicht die Vektoren.
In die Spalten der Matrix müssen die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren; das sind die Koeffizienten der Linearkombination. Also bei den ersten n-1 Spalten nur eine 1 sonst 0.Kommst Du nun klar?
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Do 15.03.2012 | | Autor: | unibasel |
ah so ja sorry :)
jetzt habe ichs verstanden! Vielen Dank :) mfg
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