Matrix des Differentialoperators < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mo 30.08.2004 | | Autor: | stowoda |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo!
Ich habe hier folgende Aufgabe vor mir liegen und weiss nicht recht wie ich diese angehen soll. Vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen bzw. mich auf den richtigen Weg bringen.
Sei [mm] E_{n} [/mm] der Untervektorraum in [mm] C^{\infinity} (\IR) [/mm] mit Basis B = [mm] \{x^{k}e^{x}|0 \le k \le n \}, [/mm] n [mm] \in \IZ
[/mm]
Bestimme die Matrix des Differentialoperators [mm] \bruch{d}{dx}: E_{n}\rightarrow E_{n} [/mm] bezüglich der Basis B.
Gruß stowoda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mo 30.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi stowoda
erstmal nur ein tipp:
die spalten der darstellungsmatrix sind die bilder der basisvektoren unter der abbildung. berechne am besten mal, was mit den basisvektoren unter der abbildung passiert und probiere dies wieder als linearkombination der basisvektoren darzustellen, also was ist [m] \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} x^ke^x [/m] ?
gruß
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 30.08.2004 | | Autor: | stowoda |
Hallo Andreas,
ich kann damit nur wenig anfangen.. :(
Ich kann mir nichtmal erklären wie die Basis aussieht bzw. die Basisvektoren dieser.
[mm] \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} x^ke^x [/mm] wird wohl die Ableitung nach x sein, wobei die Produktregel zu berücksichtigen ist.
Gruß stowoda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 30.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
unter den basisvektoren braucht man sich eigentlich nichts besonderes vorstellen, es gibt auf jedenfall keine so schöne anschaueung wie im [m] \mathbb{R}^3 [/m] mehr.
der betrachtete vektorraum sind einfach all die stetigen funktionen die linearkombinationen der basisfunktionen sind, also z.b. [m] f(x) = 0 = 0x^0e^x + 0x^1e^x + 0x^2e^x \in E_2, \; g(x) = 3xe^x - 17 e^x = 17x^0e^x + 3x^1e^x + 0x^2e^x \in E_2 [/m]
berechnen doch einfach mal das bild von einem beliebigen basisvektor [m] x^ke^x [/m] (wie du schon gesagt hast mit der produktregel) und probiere dies wieder als linearkombination darzustellen. vielleicht siehst du dann auch schon, wie die matrix in etwa auszusehn hat!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 30.08.2004 | | Autor: | stowoda |
ok.
der erste Basisvektor ist wohl dieser:
[mm] x^{0}e^{x}
[/mm]
wenn ich dann bruch [mm] {d}{dx}x^ke^x [/mm] anwende kommt wohl dies raus: [mm] e^{x}
[/mm]
ich weiss nicht ob ich das richtige meine..
der zweite wär dann :
[mm] x^{1}e^{x} [/mm] ---> [mm] e^{x}+x*e^{x}
[/mm]
stimm das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 30.08.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo stowoda!
> der erste Basisvektor ist wohl dieser:
>
> [mm]x^{0}e^{x}
[/mm]
>
> wenn ich dann bruch [mm]{d}{dx}x^ke^x[/mm] anwende kommt wohl dies
> raus: [mm]e^{x}
[/mm]
>
> ich weiss nicht ob ich das richtige meine..
>
> der zweite wär dann :
>
> [mm]x^{1}e^{x}[/mm] ---> [mm]e^{x}+x*e^{x}
[/mm]
>
> stimm das?
Ja, das stimmt.
Zum weiteren Verständnis des Vorgehens empfehle ich dir unbedingt meinen ausführlichen Beitrag hier, wo es um ein ähnliches Problem ging:
https://matheraum.de/read?f=16&t=960&i=986&mark1=Zusammenhang
Melde dich dann mal mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Di 31.08.2004 | | Autor: | stowoda |
ich denke ich bin jetzt einen Schritt weiter..
es geht ja um die Basis = [mm] \{x^{k}e^{x}|0 \le k \le n \},n \in \IZ
[/mm]
die Basisvektoren sehen so aus: [mm] \begin{pmatrix} e^x x^0 \\ e^x x^1 \\ \vdots \\ e^x x^n \end{pmatrix}
[/mm]
Linearfaktoren sind diese: [mm] \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}
[/mm]
nun muss ich doch [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] anwenden..
also:
[mm] p_m=a_0*e^x*x^0+a_0*e^x*0+a_1*e^x*x^1+a_1*e^x*1+a_2*e^x*x^2+a_2*e^x*2x+...+a_n*e^x*x^n+a_n*e^x*nx^n-1
[/mm]
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also noch einmal:
Es gilt:
[mm] $\frac{d}{dx} (x^0e^x) [/mm] = [mm] e^x [/mm] = 1 [mm] \cdot x^0e^x [/mm] + 0 [mm] \cdot x^1 e^x [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot x^n e^x$,
[/mm]
d.h. die erste Spalte der Darstellungsmatrix des Differentialoperators lautet:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Jetzt kommt das zweite Basiselement. Es gilt:
[mm] $\frac{d}{dx} (x^1e^x) [/mm] = [mm] e^x [/mm] + [mm] xe^x [/mm] = 1 [mm] \cdot x^0e^x [/mm] + 1 [mm] \cdot x^1 e^x [/mm] +0 [mm] \cdot x^2e^x [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot x^n e^x$,
[/mm]
d.h. die zweite Spalte der Darstellungsmatrix des Differentialoperators lautet:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Jetzt kommt das dritte Basiselement. Es gilt:
[mm] $\frac{d}{dx} (x^2e^x) [/mm] = 2x [mm] e^x [/mm] + [mm] x^2e^x [/mm] = 0 [mm] \cdot x^0e^x [/mm] + 2 [mm] \cdot x^1 e^x [/mm] + 1 [mm] \cdot x^2e^x [/mm] + 0 [mm] \cdot x^3 e^x [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot x^n e^x$,
[/mm]
d.h. die dritte Spalte der Darstellungsmatrix des Differentialoperators lautet:
[mm] $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Verstehst du das bis dahin?
Wie sieht also allgemein die $k$-te Spalte aus?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 10.09.2004 | | Autor: | stowoda |
ich kann nicht nachvollziehen wie Du auf die erste zeile kommst..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 10.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo stowoda!
> ich kann nicht nachvollziehen wie Du auf die erste zeile
> kommst..
Du meinst "Hallo!"? 
Nein, wahrscheinlich meinst du das:
(1) [mm] $\frac{d}{dx} (x^0e^x)$
[/mm]
Die Ableitung von [mm] e^x [/mm] lautet:
(2) $ = [mm] e^x$
[/mm]
Wegen [mm] $x^0=1$ [/mm] kann das geschrieben werden als
(3) [mm] $=x^0e^x$
[/mm]
(4) $ = [mm] \underbrace{1 \cdot x^0e^x}_{=e^x} [/mm] + [mm] \underbrace{0 \cdot x^1 e^x+ \ldots + 0 \cdot x^n e^x}_{=0} [/mm] $
Durch diese Darstellung hat man [mm] e^x [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben.
Wenn jetzt noch etwas unklar geblieben sein sollte, gebe bitte den Schritt an.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Fr 10.09.2004 | | Autor: | stowoda |
hallo hallo!
= [mm] \underbrace{1 \cdot x^0e^x}_{=e^x} [/mm] + [mm] \underbrace{0 \cdot x^1 e^x+ \ldots + 0 \cdot x^n e^x}_{=0}
[/mm]
ist das (u*v) = u´*v + u*v´ ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Fr 10.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo stowoda,
> = [mm]\underbrace{1 \cdot x^0e^x}_{=e^x}[/mm] + [mm]\underbrace{0 \cdot x^1 e^x+ \ldots + 0 \cdot x^n e^x}_{=0}[/mm]
>
>
> ist das (u*v) = u´*v + u*v´ ??
Nein, eine Ableitung muß hier ja nicht mehr berechnet werden, das wurde doch schon direkt in Schritt (1)->(2) gemacht.
Hinter der obigen Gleichheit stecken folgende Gleichheiten $1*x=x$, $0*x=0$ und [mm] $x^0=1$:
[/mm]
[mm] $e^x$
[/mm]
[mm] $=1*e^x$
[/mm]
[mm] $=x^0*e^x$
[/mm]
[mm] $=1*x^0*e^x$
[/mm]
[mm] $=1*x^0*e^x+0$
[/mm]
[mm] $=1*x^0*e^x+0*x^1*e^x$
[/mm]
[mm] $=1*x^0*e^x+0*x^1*e^x+0*x^2*e^x$
[/mm]
[mm] $=1*x^0*e^x+0*x^1*e^x+0*x^2*e^x+\ldots+0*x^n*e^x$
[/mm]
Jetzt alles klar?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 30.08.2004 | | Autor: | BJJ |
Hi,
dein Untervektorraum [mm] E_{n} [/mm] besteht aus allen Funktionen der Form
f(x) = [mm] \alpha_{0} v_{0}(x) [/mm] + ... + [mm] \alpha_{k}v_{k}(x) [/mm]
wobei die [mm] v_{i}(x) [/mm] = [mm] x^{i}e^{x} [/mm] deine Basisvektoren und die [mm] \alpha_{i} [/mm] deine Kooordinaten oder Koeffizienten bzgl. der Basisvektoren sind. Das heisst also, der Koordinatenvektor von f bzgl. deiner Basis ist
[mm] (\alpha_{0},...,\alpha_{k})
[/mm]
Nun berechnen wir die Ableitung von f. Fuer jeden Basisvektor gilt:
[mm] v_{i}'(x) [/mm] = [mm] (x^{i}e^{x})' [/mm] = [mm] ix^{i-1} e^{x} [/mm] + [mm] x^{i}e^{x} [/mm] falls i > 0
[mm] v_{i}'(x) [/mm] = [mm] (e^{x})' [/mm] = [mm] e^{x}, [/mm] falls i = 0
Weil [mm] (\alpha_{i}v_{i})'(x) [/mm] = [mm] \alpha_{i} v_{i}'(x) [/mm] ist, folgt fuer den Koordinatenvektor von der Ableitung f'(x):
[mm] (\alpha_{0}+\alpha_{1}, \alpha_{1}+2\alpha_{2}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{k-1}+k\alpha_{k}, \alpha_{k})
[/mm]
Das bedeutet also, die Ableitung f'(x) ist von der Form
f'(x) = [mm] (\alpha_{0} [/mm] + [mm] \alpha_{1})v_{0}(x) [/mm] + [mm] (\alpha_{1} [/mm] + [mm] 2\alpha_{2})v_{1}(x) [/mm] + ... [mm] +(\alpha_{k-1}+k\alpha_{k})v_{k-1}(x)+ \alpha_{k}v_{k}(x)
[/mm]
Nun haben wir eine allgemeine Vorschrift, wie wir aus jeder Funktion f [mm] \in E_{n} [/mm] die Funktion f' erhalten koennen. Naemlich durch eine Abbildung A, die den ersten Koordinatenvektor in den zweiten ueberfuehrt:
[mm] A\vektor{\alpha_{0}\\ \alpha_{1}\\ .\\.\\.\\ \alpha_{k-1}\\ \alpha_{k}} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha_{0} + \alpha_{1}\\ \alpha_{1} + 2\alpha_{2}\\.\\.\\.\\ \alpha_{k-1}+k\alpha_{k}\\ \alpha_{k}}
[/mm]
Da der Differentialoperator einer differenzierbaren Funktion ein lineares Funktional ist, ist A eine Matrix. Die Matrix A, die obiges Gleichungssystem loest, ist dann von der Form
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & ... & ... & 0\\
0 & 1 & 2 & 0 & ... & 0\\
.\\
.\\
.\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & k\\
0 & ... & ... & ... & 0 & 1
}
[/mm]
Rechenfehler bei den Ableitungen schliesse ich nicht aus. Aber das Prinzip ist hoffentlich verstaendlich geworden, so dass man es noch einmal selbst ueberpreufen kann.
Gruss bjj
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