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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 05.05.2008 | | Autor: | blubella |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zu A= [mm] \pmat{2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2} [/mm] eine orthogonale Matrix T, sodass [mm] T^{t}AT [/mm] diagonal ist. |
Hallo,
irgendwas stimmt hier bei mir nicht, es kommt keine Diagonalmatrix raus, könnte das bitte mal wer nachrechnen??
Also zuerst Eigenwerte bestimmen: [mm] \lambda_{1} [/mm] =0, [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 3.
Dann die Eigenvektoren: [mm] \nu_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\-1}, [/mm]
[mm] \nu_{2} [/mm] = [mm] \nu_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\2}. [/mm] Das kommt mir schon mal komisch vor, aber ich konnte keinen Fehler finden. Kann man dann T eigentlich so anschreiben : [mm] \pmat{1&1&1\\1&1&1\\-1&2&2} [/mm] ?
Wenn ja, dann muss ich die Eigenvektoren orthogonalisieren mit Gram-Schmidt, da bekomme ich [mm] \pmat{1&1&0\\1&1&0\\-1&2&0} [/mm] und [mm] T^{t} [/mm] ist dann [mm] \pmat{1&1&-1\\1&1&2\\0&0&0}. [/mm]
Wenn ich das aber jetzt wie oben verlangt miteinander multipliziere erhalte ich [mm] \pmat{0&0&0\\6&6&3\\0&0&0}, [/mm] und das ist offensichtlich nicht diagonal.
Kann man die Matrix überhaupt diagonalisieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie zu A= [mm]\pmat{2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2}[/mm] eine
> orthogonale Matrix T, sodass [mm]T^{t}AT[/mm] diagonal ist.
> Hallo,
> irgendwas stimmt hier bei mir nicht, es kommt keine
> Diagonalmatrix raus, könnte das bitte mal wer
> nachrechnen??
>
> Also zuerst Eigenwerte bestimmen: [mm]\lambda_{1}[/mm] =0,
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 3.
> Dann die Eigenvektoren: [mm]\nu_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\-1},[/mm]
> [mm]\nu_{2}[/mm] = [mm]\nu_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\2}.[/mm] Das kommt mir schon
> mal komisch vor, aber ich konnte keinen Fehler finden.
Hallo,
wenn der Eigenraum zum doppelten Eigenwert 3 nur die Dimension 1 hat, ist die Matrix nicht diagonalisierbar und Du bist fertig.
Die Sachlage ist aber anders: Du hast Dich verrechnet.
> Kann
> man dann T eigentlich so anschreiben :
> [mm]\pmat{1&1&1\\1&1&1\\-1&2&2}[/mm] ?
Nein. T muß ja invertierbar sein, deshalb kann die Matrix keine Basistransformationsmatrix sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 05.05.2008 | | Autor: | blubella |
Hallo angela, danke für deine schnelle Antwort.
Kann ich dann für [mm] \nu_{3} [/mm] ein Vielfaches von [mm] \nu_{2} [/mm] nehmen, oder wie sieht sonst meine Matrix T aus?
Gruß, Blubella
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> Hallo angela, danke für deine schnelle Antwort.
> Kann ich dann für [mm]\nu_{3}[/mm] ein Vielfaches von [mm]\nu_{2}[/mm]
> nehmen, oder wie sieht sonst meine Matrix T aus?
>
Hallo,
Du suchst doch eine Basis aus Eigenvektoren - da kannst Du dann doch nicht einfach ein Vielfaches eines anderen Vektors mit hineinnehmen!
Ich hatte doch schon gesagt, daß Du Dich verrechnet hast.
Rechne den Eigenraum zum Eigenwert 3 nochmal.
Wenn Du wieder zum selben Ergebnis kommst, rechne ausführlich vor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 05.05.2008 | | Autor: | blubella |
Hallo,
ja, klar, da hast du recht.
Eigenraum zum [mm] \lambda_{2},_{3}: \pmat{2-3&-1&1\\-1&2-3&1\\1&1&2-3}\times\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}= [/mm] 0.
Da bekomme ich 3 gleiche Gleichungen: [mm] x_{1}+x_{2}=x_{3}.
[/mm]
Da hab ich eben für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] 1 und für [mm] x_{3} [/mm] 2 eingesetzt, da die die Gleichung erfüllen.
Gruß, Blubella
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Hallo blubella,
> Hallo,
> ja, klar, da hast du recht.
> Eigenraum zum [mm]\lambda_{2},_{3}: \pmat{2-3&-1&1\\-1&2-3&1\\1&1&2-3}\times\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=[/mm]
> 0.
> Da bekomme ich 3 gleiche Gleichungen: [mm]x_{1}+x_{2}=x_{3}.[/mm]
> Da hab ich eben für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] 1 und für [mm]x_{3}[/mm] 2
> eingesetzt, da die die Gleichung erfüllen.
Im Endeffekt haben wir jetzt eine Gleichung mit 3 Variablen. Daraus ergibt sich, daß 2 Variablen frei wählbar sind.
Die Lösung dieser Gleichung ergibt sich dann zu:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3} }=s \pmat{\dots \\ \dots \\ \dots}+t \pmat{\dots \\ \dots \\ \dots}[/mm]
Die Vektoren, die bei s und t stehen bilden nun den Eigenraum zum Eigenwert 3.
>
> Gruß, Blubella
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Di 06.05.2008 | | Autor: | blubella |
Danke, MathePower, jetzt funktioniert es.
Gruß, Blubella
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