Matrix einer Abb. bzgl. Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 29.06.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Betrachten Sie die lineare Abbildung $ L: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] $ gemäß
[mm] L(x) := \vektor{x_1+2x_2 \\ 3x_1+4x_2} [/mm].
Bestimmen Sie die Matrizen von $ L $ bzgl. der kanonischen Basis $ [mm] e_1. e_2 [/mm] $ sowie bzgl. der Basis $ [mm] v_1 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 1}, v_2 [/mm] := [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] $. |
[mm] L(x) = A(x) = \vektor{x_1+2x_2 \\ 3x_1+4x_2} \Rightarrow A = \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm]
[mm] x = x_1 e_1+x_2 e_2= \xi_1 v_1+\xi_2 v_2 [/mm]
daraus ergibt sich:
[mm]\left. \begin{matrix}
x_1 = \xi_1-\xi_2 \\
x_2 = \xi_1+\xi_2
\end{matrix} \right\} \gdw
\left\{\begin{matrix}
\xi_1 = \bruch{1}{2}(x_1+x_2) \\
\xi_2 = \bruch{1}{2}(x_2-x_1)
\end{matrix} \right.[/mm]
Wie errechne ich nun die Matrix der Abb. bzgl. der neuen Basis?
Edit: ich glaube ich hab's jetzt selbst raus bekommen:
$ B $ sei die Matrix der Basistransformation T.
[mm]L(x) = Ax = y [/mm] und [mm] T(y) = T(y_1 e_1 + y_2 e_2) = By = \xi_1 v_1 + \xi_2 v_2 = B(Ax) = (AB)x [/mm]
Also ist die Matrix von $ L $ bzgl. $ [mm] v_1, v_2 [/mm] $ $ BA = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2}& \bruch{1}{2}} \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 }$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 30.06.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo
> die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.
> Gruss leduart
>
Hallo, bedeutet dies folgendes:
[mm] L'(v_1) = \vektor{1 \\ 3} [/mm] und [mm] L'(v_2)=\vektor{2 \\ 4} [/mm]
Wenn ich nun für diese Abbildung L' die Matrix bestimme, so ist dies die Matrix von L bzgl. $ [mm] v_1 [/mm] $ und $ [mm] v_2 [/mm] $?
Die Lösung wäre $ [mm] \pmat{ -\bruch{1}{2}& \bruch{3}{2}\\ -\bruch{1}{2}& \bruch{7}{2}} [/mm] $ was übrigens das Matrixprodukt AB ist.
Ist das nun das richtige Ergebnis?
Ich würde auch noch gerne wissen, warum meine Lösungsidee falsch ist...
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> > Hallo
> > die Spalten der Matrix sind die Bilder der
> Basisvektoren.
> > Gruss leduart
Hallo,
leduart möchte Dir dieses sagen:
um die Spalten der Darstellungsmatrix von L bzgl der Basis D zu bestimmen, mußt Du die Bilder der Basisvektoren von D ausrechnen und diese dann als Koordinatenvektoren bzgl. D schreiben.
Diese Vektoren sind die Spalten der gesuchten Darstellungsmatrix.
Also:
[mm] L(v_1)= \vektor{...\\...}_{(E)}= ?*v_1+?*v_2=\vektor{...\\...}_{(D)}
[/mm]
[mm] L(v_2)= \vektor{...\\...}_{(E)}= ?*v_1+?*v_2=\vektor{...\\...}_{(D)}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Fr 01.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
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> > > Hallo
> > > die Spalten der Matrix sind die Bilder der
> > Basisvektoren.
> > > Gruss leduart
>
>
> Hallo,
>
> leduart möchte Dir dieses sagen:
>
> um die Spalten der Darstellungsmatrix von L bzgl der Basis
> D zu bestimmen, mußt Du die Bilder der Basisvektoren von D
> ausrechnen und diese dann als Koordinatenvektoren bzgl. D
> schreiben.
> Diese Vektoren sind die Spalten der gesuchten
> Darstellungsmatrix.
>
> Also:
>
> [mm]L(v_1)= \vektor{...\\...}_{(E)}= ?*v_1+?*v_2=\vektor{...\\...}_{(D)}[/mm]
>
> [mm]L(v_2)= \vektor{...\\...}_{(E)}= ?*v_1+?*v_2=\vektor{...\\...}_{(D)}[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Hallo Angela,
hey, deine Erklärung ist sowas von gut! Jetzt hab ich es mal wirklich kappiert, was mit der Aufgabenstellung gemeint ist, also mit " betimmen Sie die Matrix bzgl. $ [mm] v_1, v_2 [/mm] $"...
Ist ja logisch, man wandelt erst den Vektor bzgl. D in eine Darstellung zur Basis E um. Dann wendet man die Lineare Transformation an und stellt ihn dann wieder dar bzgl. der Basis D.
Das, was leduart meint, ist ja letztendlich genau das gleiche... wobei die Erklärung mit $ [mm] BAB^{-1} [/mm] $ finde ich noch etwas leichter verständlich...
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
b
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> Betrachten Sie die lineare Abbildung [mm]L: \IR^2 \to \IR^2[/mm]
> gemäß
> [mm]L(x) := \vektor{x_1+2x_2 \\
3x_1+4x_2} [/mm].
> Bestimmen Sie
> die Matrizen von [mm]L[/mm] bzgl. der kanonischen Basis [mm]e_1. e_2[/mm]
> sowie bzgl. der Basis [mm]v_1 := \vektor{1 \\
1}, v_2 := \vektor{-1 \\
1} [/mm].
>
>
> [mm]L(x) = A(x) = \vektor{x_1+2x_2 \\
3x_1+4x_2} \Rightarrow A = \pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 }[/mm]
>
> [mm]x = x_1 e_1+x_2 e_2= \xi_1 v_1+\xi_2 v_2[/mm]
>
> daraus ergibt sich:
>
> [mm]\left. \begin{matrix} x_1 = \xi_1-\xi_2 \\
x_2 = \xi_1+\xi_2 \end{matrix} \right\} \gdw \left\{\begin{matrix} \xi_1 = \bruch{1}{2}(x_1+x_2) \\
\xi_2 = \bruch{1}{2}(x_2-x_1) \end{matrix} \right.[/mm]
> Wie errechne ich nun die Matrix der Abb. bzgl. der neuen
> Basis?
>
> Edit: ich glaube ich hab's jetzt selbst raus bekommen:
>
>
> [mm]B[/mm] sei die Matrix der Basistransformation T.
Hallo,
das solltest Du etwas genauer sagen: B ist bei Dir die Matrix, die Dir Vektoren, die Bezüglich der Standardbasis [mm] E:=(e_1, e_2) [/mm] gegeben sind umwandelt in solche bzgl der Basis [mm] D:=(v_1, v_2).
[/mm]
In meiner Schreibweise bezeichen ich diese Matrix mit [mm] _DM(id)_E.
[/mm]
Ihr Inverses [mm] B^{–1} [/mm] wandelt Vektoren, die bzgl. D gegeben sind, um in solche bzgl. E. Diese Matrix bekommst Du sehr einfach: einfach die Basisvektoren von D in Standardkoordinaten in die Spalten schreiben: [mm] B^{-1}=\pmat{1&-1\\1&1}.
[/mm]
> [mm]L(x) = Ax = y[/mm] und [mm]T(y) = T(y_1 e_1 + y_2 e_2) = By = \xi_1 v_1 + \xi_2 v_2 = B(Ax) = (AB)x[/mm]
>
> Also ist die Matrix von [mm]L[/mm] bzgl. [mm]v_1, v_2[/mm] [mm]BA = \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\
-\bruch{1}{2}& \bruch{1}{2}} \pmat{ 1 & 2 \\
3 & 4 } = \pmat{ 2 & 3 \\
1 & 1 }[/mm].
>
Das ist noch nicht die gesuchte Matrix. Du hast die Matrix ausgerechnet, die Dir für Vektoren in Koordinaten bzgl. E ihre Bilder unter L in Koordinaten bzgl. D liefert, in meiner Schreibweise die Matrix [mm] _DM(L)_E.
[/mm]
(Im meiner Schreibweise hast Du [mm] _DM(id)_E*_EM(L)_E=_DM(L)_E [/mm] gerechnet.)
Du aber suchst die Darstellungsmatrix von L, welche Du mit Vektoren bzgl. D fütterst, und welche auch solche ausgibt, also die Matrix [mm] _DM(L)_D.
[/mm]
Es ist [mm] _DM(L)_D=_DM(id)_E*_EM(L)_E*_EM(id)_D, [/mm] in Deinen Bezeichnungen [mm] ...=BAB^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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