Matrix einer lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo, ich bräuchte dringend eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
Man betrachte die linearen Abbildungen [mm] \mu:\IR^2\to\IR^3 [/mm] und [mm] \nu:\IR^3\to\IR [/mm] mit [mm] \mu(x_{1},x_{2})=[x_{2},x_{1},3*x_{1}-x_{2}]^T [/mm] und [mm] \nu(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die zu [mm] \mu, \nu [/mm] und [mm] \mu\circ\nu [/mm] gehörigen Matrizen bzgl. der Standardbasis des [mm] \IR^n.
[/mm]
b) Bestimmen Sie [mm] Kern(\mu):={x\in\IR2: \mu(x)=0} [/mm] und [mm] \mu(\IR2) [/mm] und geben Sie jeweils eine Basis dieser Räume an. |
Zu a) Man muss doch die Bilder der Basisvektoren bestimmen und erhält somit die Matrixdarstellung.
Also [mm] \mu((\vektor{1 \\ 0 \\ 0}))=(\vektor{0 \\ 1 \\ 3}, [/mm]
[mm] \mu((\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))=(\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \mu((\vektor{0 \\ 0 \\ 1}))=(\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Damit erhält man die Matrixdarstellung [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0}
[/mm]
Ist das bis dahin so richtig?
Aber wie ist das dann bei [mm] \nu?
[/mm]
Die Bilder der Einheitsvektoren wären ja
[mm] \nu((\vektor{1 \\ 0 \\ 0}))=-1, [/mm]
[mm] \nu((\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))=1 [/mm] und
[mm] \nu((\vektor{0 \\ 0 \\ 1}))=1.
[/mm]
Wie ergibt sich daraus meine Matrix?
Bei Aufgabenteil b) stehe ich momentan voll auf dem Schlauch.
Danke schon einmal für eure Hilfe!
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Hallo,
> Hallo, ich bräuchte dringend eure Hilfe bei folgender
> Aufgabe:
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> Man betrachte die linearen Abbildungen [mm]\mu:\IR^2\to\IR^3[/mm]
> und [mm]\nu:\IR^3\to\IR[/mm] mit
> [mm]\mu(x_{1},x_{2})=[x_{2},x_{1},3*x_{1}-x_{2}]^T[/mm] und
> [mm]\nu(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{2}+y_{3}-y_{1}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die zu [mm]\mu, \nu[/mm] und [mm]\mu\circ\nu[/mm] gehörigen
> Matrizen bzgl. der Standardbasis des [mm]\IR^n.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie [mm]Kern(\mu):={x\in\IR2: \mu(x)=0}[/mm] und
> [mm]\mu(\IR2)[/mm] und geben Sie jeweils eine Basis dieser Räume
> an.
> Zu a) Man muss doch die Bilder der Basisvektoren bestimmen
> und erhält somit die Matrixdarstellung.
Ja das ist korrekt.
> Also [mm]\mu((\vektor{1 \\ 0 \\ 0}))=(\vektor{0 \\ 1 \\ 3},[/mm]
> [mm]\mu((\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))=(\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] und
> [mm]\mu((\vektor{0 \\ 0 \\ 1}))=(\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>
> Damit erhält man die Matrixdarstellung [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0}[/mm]
>
> Ist das bis dahin so richtig?
Nein, denn die Abbildung [mm] \mu [/mm] geht von [mm] \IR^2 \to \IR^3
[/mm]
Du hast also nur die Bilder der Basisvektoren [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] zu bestimmen, und erhältst dann eine 3x2 Matrix.
>
> Aber wie ist das dann bei [mm]\nu?[/mm]
> Die Bilder der Einheitsvektoren wären ja
> [mm]\nu((\vektor{1 \\ 0 \\ 0}))=-1,[/mm]
> [mm]\nu((\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))=1[/mm] und
> [mm]\nu((\vektor{0 \\ 0 \\ 1}))=1.[/mm]
> Wie ergibt sich daraus
> meine Matrix?
Genauso, du erhältst dann die matrix [mm] \pmat{-1&1&1}
[/mm]
> Bei Aufgabenteil b) stehe ich momentan voll auf dem
> Schlauch.
>
> Danke schon einmal für eure Hilfe!
Gruß helicopter
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Hallo, vielen Dank für deine Antwort, damit hast du mir schon mal sehr geholfen.
Nur noch einmal zum Verständnis: Man muss immer nur die Basisvektoren in der Dimension abbilden aus der die Abbildung in eine andere übergeht. Also im ersten Fall geht sie von [mm] \IR2 [/mm] in [mm] \IR^3 [/mm] deshalb nehme ich nur die Basisvektoren im [mm] \IR^2.
[/mm]
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Hallo,
nehmen wir an, Du willst die Matrix einer linearen Abbildung aus dem [mm] \IR^k [/mm] in den [mm] \IR^n [/mm] aufstellen.
> Nur noch einmal zum Verständnis: Man muss immer nur die
> Basisvektoren in der Dimension abbilden aus der die
> Abbildung in eine andere übergeht.
Dann nimmst Du die k Basisvektoren des [mm] \IR^k [/mm] (das sind Spaltenvektoren mit k Einträgen) und berechnest ihr Bild (das sind Spaltenvektoren mit n Einträgen).
Die erhaltenen Vektoren kommen als Spalten in die Matrix. Es wird eine Matrix mit n Zeilen und k Spalten.
Also im ersten Fall
> geht sie von [mm]\IR2[/mm] in [mm]\IR^3[/mm] deshalb nehme ich nur die
> Basisvektoren im [mm]\IR^2.[/mm]
Ja.
LG Angela
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Danke erst einmal für deine Antwort.
Damit ergibt sich für den 1. Einheitsvektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] das Bild [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3} [/mm] und für den zweiten [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] das Bild [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und damit die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}
[/mm]
Ist das richtig?
Und für die zweite Abbildung die Matrix ( -1 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 1)
Auch richtig?
Für die Verkettung beider Abbildungen [mm] \nu\circ\mu [/mm] habe ich gerechnet:
[mm] \nu\circ\mu: \IR^2\to\IR
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}* [/mm] ( -1 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 1)=( 4 [mm] \\ [/mm] -2)
Ist das korrekt?
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Hallo,
für [mm] \mu [/mm] haben wir
> die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja.
>
> Und für die zweite Abbildung [mm] \nu [/mm] die Matrix ( -1 [mm]\\[/mm] 1 [mm]\\[/mm] 1)
>
> Auch richtig?
Ja.
>
> Für die Verkettung beider Abbildungen [mm]\nu\circ\mu[/mm] habe ich
> gerechnet:
>
> [mm]\nu\circ\mu: \IR^2\to\IR[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}*[/mm]
> ( -1 [mm]\\[/mm] 1 [mm]\\[/mm] 1)=( 4 [mm]\\[/mm] -2)
>
> Ist das korrekt?
Nein. Du kannst es daran merken, daß Du die beiden Matrizen gar nicht multiplizieren kannst: es müssen doch die Spaltenzahl der ersten und die Zeilenzahl der zweiten gleich sein.
Richtig ist
[mm]\pmat{-1&1&1}*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 3 & -1}=\pmat{4&-2}[/mm]
>
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Hallo,
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> nehmen wir an, Du willst die Matrix einer linearen
> Abbildung aus dem [mm]\IR^k[/mm] in den [mm]\IR^n[/mm] aufstellen.
>
> > Nur noch einmal zum Verständnis: Man muss immer nur die
> > Basisvektoren in der Dimension abbilden aus der die
> > Abbildung in eine andere übergeht.
>
> Dann nimmst Du die k Basisvektoren des [mm]\IR^k[/mm] (das sind
> Spaltenvektoren mit k Einträgen) und berechnest ihr Bild
> (das sind Spaltenvektoren mit n Einträgen).
> Die erhaltenen Vektoren kommen als Spalten in die Matrix.
> Es wird eine Matrix mit n Zeilen und k Spalten.
vielleicht sollten wir dazusagen, dass i.a. die Matrizen von der Wahl der
Basen abhängen. Obige Matrizen sind halt, das erkennt man aus allem,
was Du erzählst, bzgl. der "Standardbasis" (sowohl im Definitions- als auch
im Zielbereich) gemeint.
Auch, wenn man das hier für die Aufgabe so noch nicht braucht, aber
insbesondere später, wenn Basisübergangsmatrizen oder
Basiswechselmatrizen ins Spiel kommen, sollte das hier auch in diesem
Sinne richtig verstanden worden sein!
Gruß,
Marcel
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