Matrix einer linearen Abbildun < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei B eine angeordnete Basis des endlich-dimensionalen [mm] \IK [/mm] - VR V, und f: V [mm] \to [/mm] V sei ein Isomorphismus. Zeigen Sie: [mm] M_{B}^{B}(f^{-1}) [/mm] = [mm] (M_{B}^{B}(f))^{-1} [/mm] |
Hallo Leute
Mir fehlt hier irgendwie der ansatz hab es irgendwie über ein kommutativeM Diagramm versucht bekomme es aber irgendwie nicht hin!
Kann mir da vielleicht einer weiter helfen?
Gruß
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Hallo!
Also ich hab da jetzt was und wollte fragen ob das so geht!
f ist Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] f ist linear und bijektiv
Weiterhin kann man jede lin Abb. mit einer angeordneten Basis durch eine Matrix darstellen. Also in unserem Fall
[mm] Hom_{\IK}( \IK^{n}, \IK^{n} [/mm] ) [mm] \to [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IK) [/mm] mit der Abb. f : [mm] \IK^{n} \to \IK^{n}
[/mm]
Ein Isomorphismus besitzt eine Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] mit f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f = [mm] id_{\IK^{n}}
[/mm]
übertragen auf Matrizen:
A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IK) [/mm] und A´ (n [mm] \times [/mm] n , [mm] \IK) [/mm] mit A ist invertierbar dann gilt A * A´ = A´ * A = [mm] E_{n}
[/mm]
Somit gilt: E = [mm] M_{B}^{B}(id) [/mm] = [mm] M_{B}^{B}(f \circ f^{-1}) [/mm] = [mm] M_{B}^{B}(f) \circ M_{B}^{B}(f^{-1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_{B}^{B}(f^{-1}) [/mm] = [mm] (M_{B}^{B})^{-1}
[/mm]
Geht das so???
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 05.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mi 05.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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