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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mi 09.04.2014 | | Autor: | Kegorus |
| Aufgabe | Gibt es eine Matrix A aus R^2x2 mit
[mm] exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] |
Wenn es so ein A gibt, dann ist A keine Diagmatrix, da exp(A) in der Diag positive Einträge hätte.
Ich glaube nicht dass es so eine Matrix gibt, aber mir gelingt der Beweis einfach nicht..
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
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> Gibt es eine Matrix A aus R^2x2 mit
>
> [mm]exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
> Wenn es so ein A gibt,
> dann ist A keine Diagmatrix, da exp(A) in der Diag positive
> Einträge hätte.
> Ich glaube nicht dass es so eine Matrix gibt, aber mir
> gelingt der Beweis einfach nicht..
> Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
Guten Morgen, Kegorus
ein kurzer Blick in ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia liefert:
Eigenschaften:
Eine Matrix hat einen Logarithmus genau dann, wenn sie invertierbar ist. Dieser Logarithmus kann eine nicht-reelle Matrix sein, selbst wenn alle Einträge in der Matrix reelle Zahlen sind. In diesem Fall ist der Logarithmus nicht eindeutig.
Berechnung des Logarithmus einer diagonalisierbaren Matrix
Im Folgenden wird eine Methode beschrieben, ln A für ein diagonalisierbare Matrix A zu berechnen:
Ermittle die Matrix V von Eigenvektoren von A (jede Spalte von V ist ein Eigenvektor von A).
Berechne die Inverse V−1 von V.
Sei
A' = [mm] V^{-1} [/mm] A [mm] V.\, [/mm]
Dann ist A′ eine diagonale Matrix, deren diagonale Elemente Eigenwerte von A sind.
Ersetze jedes diagonale Element von A′ durch dessen natürlichen Logarithmus um [mm] \ln [/mm] A' zu erhalten.
Dann gilt [mm] \ln [/mm] A = V ( [mm] \ln [/mm] A' ) [mm] V^{-1}. \, [/mm]
Dass der Logarithmus von A komplex sein kann, obwohl A reell ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben kann (dies gilt zum Beispiel für Rotationsmatrizen). Die Nichteindeutigkeit des Logarithmus folgt aus der Nichteindeutigkeit des Logarithmus einer komplexen Zahl.
Hilft das ?
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Do 10.04.2014 | | Autor: | Kegorus |
Ja das hilft mir sehr, vielen dank!
In meinem bsp hätte A logarithem von negativen zahlen in der diag
, also existiert sie nicht.
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> Ja das hilft mir sehr, vielen dank!
> In meinem bsp hätte A logarithem von negativen zahlen in
> der diag
> , also existiert sie nicht.
Falls du als Lösungen nur Matrizen mit reellen Werten
zulassen willst, ist dies richtig. Und wenn ich mir die
Aufgabenstellung nochmals anschaue, stand da wirklich
(mit korrigierter Schreibweise):
"Gibt es eine Matrix A aus [mm] $\IR^2\ [/mm] =\ [mm] \IR\,\times\,\IR$ [/mm] mit $ [mm] exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] $ ?"
Ich glaube aber nicht, dass diese Aufgabe in einem
Umfeld gestellt wurde, wo ganz grundsätzlich nur
reelle Matrizen betrachtet werden sollen.
Die gegebene Matrix M ist ganz offensichtlich invertierbar
und hat deswegen (in [mm] \IC\,\times\,\IC) [/mm] auch einen (allerdings nicht
eindeutig festlegbaren) "Logarithmus" , also eine Matrix A
mit Elementen aus [mm] \IC [/mm] , so dass exp(A) = M .
Nun kannst du einfach zeigen, dass eine derartige
Matrix A [mm] \in \IC\,\times\,\IC [/mm] (die du nach dem Rezept
aus Wikipedia berechnen kannst) jedenfalls nicht nur rein
reelle Komponenten haben kann und darum nicht
zu [mm] \IR\,\times\,\IR [/mm] gehört.
Eine derartige Lösung wird wohl besser bewertet als
die gar knappe Antwort "negative Zahlen haben keinen
Logarithmus, also geht es nicht".
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Do 10.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Du solltest die Antwort von Al-Chwarizmi genau lesen. Hast Du
"Eine Matrix hat einen Logarithmus genau dann, wenn sie invertierbar ist."
registriert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 So 13.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine Matrix A aus R^2x2 mit
R^2x2 soll wohl [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] sein, allso die Menge der reellen 2 [mm] \times [/mm] 2 -Matrizen.
>
> [mm]exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
> Wenn es so ein A gibt,
> dann ist A keine Diagmatrix, da exp(A) in der Diag positive
> Einträge hätte.
> Ich glaube nicht dass es so eine Matrix gibt, aber mir
> gelingt der Beweis einfach nicht..
> Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] e^{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von exp(A)
Das sollte schnell helfen.
FRED
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