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Forum "Lineare Abbildungen" - Matrix für Endomorphismus
Matrix für Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix für Endomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
Wie kann man für eine beliebige Matrix A ($n [mm] \times [/mm] n$) zeigen, dass sie bezüglich einer Basis B die Koordinatenmatrix des Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraumes [mm] $K^n$ [/mm] ist?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Matrix für Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Mi 09.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
> Wie kann man für eine beliebige Matrix A ([mm]n \times n[/mm])
> zeigen, dass sie bezüglich einer Basis B die
> Koordinatenmatrix des Endomorphismus eines n-dimensionalen
> Vektorraumes [mm]K^n[/mm] ist?

Hallo,

A muß den Rang n haben, also vollen Rang.

Quatsch war das! Ich hatte die nicht gestellte Frage nach "Automorphismus" beantwortet.

LG Angela
>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Matrix für Endomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Liebe Angela,
Vielen Dank für deine Antwort. Leider weiß ich nur, dass ich Matrizen A und A' (beide [mm] $n\times [/mm] n$) habe, die ähnlich zueinander sind, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix S, so dass gilt: $ SAS ^{-1 }= A' $. Nun sollen diese beiden Koordinatenmatrix der selben linearen Abbildung von $ [mm] K^n \rightarrow K^n$ [/mm] sein, wenn auch zu verschiedenen Basen. Ich würde diese Behauptung gerne zeigen. Ich nehme an irgendwie wird man deine Bemerkung zum Rang verwenden können, allerdings ist mir leider nicht ganz klar wie.


Bezug
                        
Bezug
Matrix für Endomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:49 Do 10.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Ich nehme an irgendwie wird man
> deine Bemerkung zum Rang verwenden können, allerdings ist
> mir leider nicht ganz klar wie.

Guten Morgen,

nein, die Bemerkung wirst Du nicht verwenden können - denn sie war absoluter Blödsinn...

Du möchtest jetzt aber ein bissele etwas anderes als das, was Du in der Eingangsfrage schreibst...

Ich habe da im Moment keine Muße zu - vllt heute abend.

LG Angela


>

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Bezug
Matrix für Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Do 10.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Liebe Angela,
> Vielen Dank für deine Antwort. Leider weiß ich nur, dass
> ich Matrizen A und A' (beide [mm]n\times n[/mm]) habe, die ähnlich
> zueinander sind, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix S,
> so dass gilt: [mm]SAS ^{-1 }= A' [/mm]. Nun sollen diese beiden
> Koordinatenmatrix der selben linearen Abbildung von [mm]K^n \rightarrow K^n[/mm]
> sein, wenn auch zu verschiedenen Basen. Ich würde diese
> Behauptung gerne zeigen.

Hallo,

sei B eine Basis und sei A die Matrix, welche die Abbildung [mm] f:K^n\to K^n [/mm] bzgl. der Basis B beschreibt.

Sei nun S eine invertierbare Matrix.
Du kannst sie als Basiswechselmatrix auffassen von der Basis B in eine Basis C. In den Spalten dieser Matrix stehen dann die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. C.

Entsprechend ist [mm] S^{-1} [/mm] die Basiswechselmatrix für den Wechsel von C nach B, in ihren Spalten stehen die Basisvektoren von C in Koordinaten bzgl. B.

Was passiert nun, wenn ich A'= [mm] SAS^{-1} [/mm] auf einen Vektor [mm] v_C [/mm] anwende?
[mm] S^{-^1}v_C [/mm] liefert diesen Vektor in Koordinaten bzgl. B,
[mm] AS^{-1}v_C [/mm] sein Bild unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl B,
und [mm] SAS^{-1}v_C [/mm] wandelt diesen Bildvektor bzgl B in einen Vektor bzgl C um.

LG Angela





 

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Matrix für Endomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mo 14.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo Angela,
Vielen Dank fürdeine antwort. Für die Matrix A könnte ich ja einfach die kanonische Basis nehmen, weil ich weiß, dass die Multiplikation mit einer Matrix gerade eine lineare Abbildung ist und, dass A bezüglich der kanonischen Basis gerade Koordinatenmatrix ist. Und im Endeeffekt ist dann das, was du beschreibst nichts anderes als ein Basiswechsel bei der Koordinatenmatrix, oder?

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Bezug
Matrix für Endomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Mo 14.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela,
> Vielen Dank fürdeine antwort. Für die Matrix A könnte
> ich ja einfach die kanonische Basis nehmen, weil ich weiß,
> dass die Multiplikation mit einer Matrix gerade eine
> lineare Abbildung ist und, dass A bezüglich der
> kanonischen Basis gerade Koordinatenmatrix ist. Und im
> Endeeffekt ist dann das, was du beschreibst nichts anderes
> als ein Basiswechsel bei der Koordinatenmatrix, oder?

Genau. Es wird "einfach" ein Basiswechsel vollzogen.

LG Angela

Bezug
                                                
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Matrix für Endomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Sa 19.05.2018
Autor: Maxi1995

Liebe Angela,
vielen Dank für deine Antwort.

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