Matrix in Abhängigkeit angeben < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 21.06.2009 | | Autor: | Herecome |
| Aufgabe | Sei [mm] $\IR^{n}=H\oplus [/mm] U$ mit [mm] $\dim(H)=n-1$ [/mm] und [mm] $f:U\to [/mm] H$ eine lineare Abbildung. Definiere eine Scherung $s : [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}$ [/mm] durch $s(h+u)= h+f(u)+u$ für $h [mm] \in [/mm] H, [mm] u\in [/mm] U$.
a) Sei [mm] B_{H} [/mm] = [mm] \{h_{1},...,h_{n-1}\} [/mm] eine Basis von H und $0 [mm] \not= u_{0} \in [/mm] U$. Dann ist $B = [mm] B_{H} \cup B_{U}$ [/mm] mit [mm] B_{U} [/mm] = [mm] \{u_{0}\} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^{n}. [/mm] Geben Sie die Matrix [mm] $M_{s}(B,B)$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $M_{f}(B_{H},B_{U})$ [/mm] an.
b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die Eigenräume von $ s $. Ist [mm] $M_{s}(B,B)$ [/mm] diagonalisierbar? |
Hallo Matheraum!
Ich hab mir da paar Sachen überlegt, aber weiter komme ich irgendwie nicht.
Im allgemeinen heisst es doch : [mm] f:V\to [/mm] W mit B=(v1,...,vn) Basis von V und C=(w1,...,wn) Basis von W
[mm] f(vj)=\summe_{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}
[/mm]
und [mm] \mathcal{M}(C,B)=(a_{ij})=\pmat{ a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... \\ a_{m1} & ...& a_{mn}}
[/mm]
auf meine aufgabe angewand hab ich raus [mm] f(u_{0})=a_{11}*h_{1}+...+a_{1n}*h_{n-1}
[/mm]
und nun? hab so ne vorahnung das ich es falsch angehe?
und bezüglich der scherung, komm ich nur auf [mm] s(h_{1}+u_{0})=h_{1}+f(u_{0})+u_{0}
[/mm]
[mm] s(h_{2}+u_{0})=h_{2}+f(u_{0})+u_{0} [/mm] usw.
helft mir bitte, was hab ich zu machen? und ohne die aufgabe a kann ich b) nicht machen...
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 21.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Du hast die Basis [mm] $\{h_1,...,h_{n-1},u_0\}$ [/mm] von [mm] $\IR^n$. [/mm] Nach Definition ist [mm] $s(h_i)=h_i+f(0)+0=h_i$ [/mm] für i=1,...,n-1 und [mm] $s(u_0)=f(u_0)+u_0$. [/mm] Jetzt überleg dir mal wie demnach die Spalten von [mm] $M_s(B,B)$ [/mm] aussehen müssen... [mm] $$M_s(B,B)=\pmat{1&0&...&0&a_1\\0&1&...&0&a_2\\\vdots&&\ddots&&\vdots\\0&0&...&1&a_{n-1}\\0&0&...&0&1}$$ [/mm] Wobei [mm] $f(u_0)=\sum_{i=1}^{n-1}a_ih_i$.
[/mm]
Gruß, Robert
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