Matrix in Treppenform < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bringe die Matrix A auf die Treppenform, indem der Gauß-Algorithmus verwendet wird.
A = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} [/mm] |
So, ich hoffe ich habe richtig verstanden um was es sich bei der "Treppenform" handelt (Wikipedia und wenige Bücher nennen Treppenform und Treppennormalform als identisch?):
A = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
[/mm]
~>
A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
[/mm]
~>
A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
[/mm]
~>
A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
[/mm]
~>
A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
richtig?
Der Parameter "r" müsste demnach 3 lauten, d.h. die Treppenform besitzt den Rang 3.
Mit "n - r" = 5 - 3 = 2 dürfen dann zwei Parameter frei gewählt werden (die dritte Zeile sagt mir offenbar $ [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] + [mm] 2x_5 [/mm] = [mm] b_3 [/mm] $ (was auch immer [mm] b_3 [/mm] sein mag).
Die Parameter [mm] "j_1 [/mm] , ... [mm] j_r" [/mm] sind noch anzugeben.
Laut Definition handelt es sich um "den niedrigsten Index [mm] j_i [/mm] der Spalte, in der ein Eintrag ungleich Null steht" - was bedeutet das :/
Ist die Spalten-Nummer gemeint, in der das erste Element ungleich 0 steht? In meinem Fall also: [mm] $j_1 [/mm] = 1, [mm] j_2 [/mm] = 2, [mm] j_3 [/mm] = 3 $ ?
|
|
| |
|
> Bringe die Matrix A auf die Treppenform, indem der
> Gauß-Algorithmus verwendet wird.
>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> So, ich hoffe ich habe richtig verstanden um was es sich
> bei der "Treppenform" handelt (Wikipedia und wenige Bücher
> nennen Treppenform und Treppennormalform als identisch?):
>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ~>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ~>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ~>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ~>
> A = [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Ich gehe an dieser Stelle davon aus, dass du richtig multipizieren und subtrahieren kannst und dich nicht verrechnet hast.
Also das ist (wir nennen sie) Zeilen stufen Form.
>
> richtig?
>
> Der Parameter "r" müsste demnach 3 lauten, d.h. die
> Treppenform besitzt den Rang 3.
> Mit "n - r" = 5 - 3 = 2 dürfen dann zwei Parameter frei
> gewählt werden (die dritte Zeile sagt mir offenbar [mm]x_3 + x_4 + 2x_5 = b_3[/mm]
> (was auch immer [mm]b_3[/mm] sein mag).
>
> Die Parameter [mm]"j_1[/mm] , ... [mm]j_r"[/mm] sind noch anzugeben.
> Laut Definition handelt es sich um "den niedrigsten Index
> [mm]j_i[/mm] der Spalte, in der ein Eintrag ungleich Null steht" -
> was bedeutet das :/
> Ist die Spalten-Nummer gemeint, in der das erste Element
> ungleich 0 steht? In meinem Fall also: [mm]j_1 = 1, j_2 = 2, j_3 = 3[/mm]
> ?
Also das einzige was du nun weißt ist, dass du freie Parameter wählen musst.
Für welche x musst du diese wählen?
Üblicherweise bezeichnet man dann diese Parameter mit [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu.
[/mm]
Also musst du nun das Gleichungssystem A * x = 0 bilden.
und dann einfach ein x nach dem andren auflösen und bei der nächsten gleichung das passende x einsetzen.
Grüße
Ali
|
|
|
| |
|
Wenn ich diese Treppenform in die Treppennormalform bringen muss, wie gehe ich dann vor?
|
|
|
| |
|
> Wenn ich diese Treppenform in die Treppennormalform bringen
> muss, wie gehe ich dann vor?
Hallo,
ähnlich wie zuvor.
Beispiel:
[mm] \pmat{\red{1}&2&3&4\\0&\red{1}&5&6\\0&0&\red{1}&7}.
[/mm]
Über den führenden Zeilenelementen (rot) müssen Nullen erzeugt werden.
Man beginnt hinten:
[mm] \pmat{\red{1}&2&3&4\\0&\red{1}&5&6\\0&0&\red{1}&7}-->\pmat{\red{1}&2&3&4\\0&\red{1}&0&-29\\0&0&\red{1}&7}-->\pmat{\red{1}&2&0&-17\\0&\red{1}&0&-29\\0&0&\red{1}&7}--> [/mm] Nun die nächste Spalte
LG Angela
|
|
|
| |
|
Hallo;
ich dachte, es müssten bis auf das führende Element (ungleich 0 !) nur Nullen in der jeweiligen Zeile stehen, also in der Form:
1 0 0 0 0 0 b1
0 1 0 0 0 0 b2
..
usw.
Dann ist ja alles ok =) Danke!
EDIT:
Welchen Nutzen hat die reduzierte Stufenform?
|
|
|
| |
|
> Hallo;
>
> ich dachte, es müssten bis auf das führende Element
> (ungleich 0 !) nur Nullen in der jeweiligen Zeile stehen,
> also in der Form:
>
> 1 0 0 0 0 0 b1
> 0 1 0 0 0 0 b2
> ..
> usw.
Dies wäre dann die ![[]](/images/popup.gif) "reduzierte" Stufenform.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> > Hallo;
> >
> > ich dachte, es müssten bis auf das führende Element
> > (ungleich 0 !) nur Nullen in der jeweiligen Zeile stehen,
> > also in der Form:
> >
> > 1 0 0 0 0 0 b1
> > 0 1 0 0 0 0 b2
> > ..
> > usw.
>
>
> Dies wäre dann die
> "reduzierte" Stufenform.
Nein, nein!
In der reduzierten ZSF stehen Nullen über und unter den führenden Elementen, aber in den Spalten, die nicht zu führenden Elementen gehören, können durchaus andere Zahlen stehen.
Eine red. ZSF ist zB dies:
[mm] \pmat{1&0&2&3\\0&1&4&5\\0&0&0&0}
[/mm]
LG Angela
>
>
> LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> > > Hallo;
> > >
> > > ich dachte, es müssten bis auf das führende Element
> > > (ungleich 0 !) nur Nullen in der jeweiligen Zeile stehen,
> > > also in der Form:
> > >
> > > 1 0 0 0 0 0 b1
> > > 0 1 0 0 0 0 b2
> > > ..
> > > usw.
> >
> > Dies wäre dann die
> "reduzierte" Stufenform.
>
> Nein, nein!
> In der reduzierten ZSF stehen Nullen über und unter den
> führenden Elementen, aber in den Spalten, die nicht zu
> führenden Elementen gehören, können durchaus andere
> Zahlen stehen.
>
> Eine red. ZSF ist zB dies:
>
> [mm]\pmat{1&0&2&3\\0&1&4&5\\0&0&0&0}[/mm]
Hallo Angela
Wie ich meine, ist dies im Beispiel, das unter dem angegebenen
Link zu finden ist, exakt der Fall ! Ich dachte, auch Kartoffelchen
hätte dies so gemeint, stehen doch in ihrer Matrix rechts auch
noch die [mm] b_i \not= [/mm] 0 . Wohl ein kleines Missverständnis - aber
eines, das mich nicht gerade bedrückt ... 
LG und schönen Sonntag !
Al- Chwarrudi
|
|
|
|
