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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Matrix in einer Matrix
Matrix in einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix in einer Matrix: Unverständlichkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Mi 21.11.2012
Autor: clemenum

Aufgabe
Man zeige, dass $G:= [mm] \{\begin{pmatrix} 1 & 0\\b & A \end{pmatrix} :b\in {K}^k, A\in GL_k(K)\}$ [/mm] Untergruppe von [mm] $GL_{k+1}(K)$ [/mm] bildet. Man zeige weiters, dass [mm] $G\cong Aff(K^k), \left(\begin{pmatrix} 1 & 0\\b & A \end{pmatrix}\right) \leftrightarrow (v\mapsto Av+b)$ ein Gruppenisomorphismus ist. Ich komme hier deshalb nicht weiter, weil ich nicht die geringste Vorstellung davon habe, was es bedeutet, wenn eine Matrix in einer Matrix (wie hier) ist. Kann mir das jemand vielleicht erklären? Seid wann kann eine Matrix als Matrixkomponente einer anderen Matrix auftreten und was haben kartesische Paare in einer Matrix verloren? [/mm]
        
Bezug
Matrix in einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mi 21.11.2012
Autor: schachuzipus

Hallo clemenum,


> Man zeige, dass [mm]G:= \{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ b & A \end{pmatrix} :b\in {K}^k, A\in GL_k(K)\}[/mm]
> Untergruppe von [mm]GL_{k+1}(K)[/mm] bildet. Man zeige weiters, dass
> [mm]G\cong Aff(K^k), \left(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ b & A \end{pmatrix}\right) \leftrightarrow (v\mapsto Av+b)[/mm]
> ein Gruppenisomorphismus ist.
>  Ich komme hier deshalb nicht weiter, weil ich nicht die
> geringste Vorstellung davon habe, was es bedeutet, wenn
> eine Matrix in einer Matrix (wie hier) ist. Kann mir das
> jemand vielleicht erklären? Seid wann kann eine Matrix als
> Matrixkomponente einer anderen Matrix auftreten und was
> haben kartesische Paare in einer Matrix verloren?  

Die Matrizen in [mm]G[/mm] sind von der Form:

[mm]M=\pmat{1&0&0&\ldots&0\\ b_1&a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1k}\\ b_2&a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ b_k&a_{k1}&a_{k2}&\ldots&a_{kk}}\in \operatorname{Mat}_{k+1}(\IK)[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Matrix in einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Do 29.11.2012
Autor: clemenum

Achsoo ist das! :O

Vielen lieben Dank, Schachuzipus, nun ist mir die Aufgabe klar geworden! :-)

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