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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix konstruieren
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Matrix konstruieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Fr 23.10.2009
Autor: itse

Aufgabe
Konstruieren Sie eine 2x2-Matrix, deren Spaltenraum mit ihrem Nullraum übereinstimmt.

Hallo,

es ist also eine 2x2Matrix, A = [mm] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} [/mm] gesucht, die folgende Bedingung erfüllt C(A) = N(A)

Der Spaltenraum gleich dem Nullraum. Für den Nullraum gilt die Bedingung Ax = 0, alle x die auf Null abgebildet werden, erzeugen den Nullraum der Matrix.

Als erstes wollte ich einfach die Nullmatrix nehmen, aber dann ist der Nullraum = [mm] \IR^2, [/mm] man kann alles einsetzen, es wird zu Null.

Also habe ich so weitergemacht:

Ax = 0

[mm] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} [/mm]

Der Nullraum einer Matrix, ist entweder eine Gerade oder der Nullvektor selbst, bei einer 2x2-Matrix kann der Spaltenraum, bei linearer Unabhängigkeit, aber auch eine Ebene darstellen, somit müssen diese beiden Vektore linear abhängig sein.

Damit nun Spaltenraum = Nullraum gilt, muss doch der Vektor des Spaltenraums, ein Vielfaches des Vektors des Nullraums sein?

[mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} [/mm]

[mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} [/mm]


Sei [mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] =  [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} [/mm]

[mm] \lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} [/mm]

[mm] \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} [/mm]

->

[mm] \begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ 3\lambda \\ \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} [/mm]

[mm] \lambda [/mm] + [mm] 3\lambda² [/mm] = 0 (zweite Gleichung ein Vielfaches von der ersten)

[mm] \lambda(1+3\lambda) [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = 0 oder [mm] 1+3\lambda [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}, [/mm] somit ergibt sich für die Matrix A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & -\bruch{1}{3} \\ 3 & -1 \\ \end{bmatrix} [/mm]

Für den Spaltenraum ergibt sich C(A) = < [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>, [/mm] da der zweite Vektor linear abhängig und für den Nullraum ergibt sich als Gleichungssystem:

[mm] \begin{matrix} 1 & -\bruch{1}{3} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} [/mm]

Also [mm] x_2 [/mm] frei wählbar = 3 -> [mm] x_1 [/mm] = 1. Insgesamt für N(A) = [mm] <\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}> [/mm]

Somit C(A) = N(A).

Würde die Lösung stimmen?

Gruß
itse

        
Bezug
Matrix konstruieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:53 Sa 24.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Konstruieren Sie eine 2x2-Matrix, deren Spaltenraum mit
> ihrem Nullraum übereinstimmt.
>  Hallo,
>  
> es ist also eine 2x2Matrix, A = [mm]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}[/mm]
> gesucht, die folgende Bedingung erfüllt C(A) = N(A)
>  
> Der Spaltenraum gleich dem Nullraum. Für den Nullraum gilt
> die Bedingung Ax = 0, alle x die auf Null abgebildet
> werden, erzeugen den Nullraum der Matrix.

Hallo,

ja.

>  
> Als erstes wollte ich einfach die Nullmatrix nehmen, aber
> dann ist der Nullraum = [mm]\IR^2,[/mm] man kann alles einsetzen, es
> wird zu Null.

Ja.

Nun betrachtest Du nur noch von der Nullmatrix verschiedene2x2-Matrizen A.

>  
> Also habe ich so weitergemacht:
>  
> Ax = 0
>  
> [mm]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>  
> Der Nullraum einer Matrix, ist entweder eine Gerade oder
> der Nullvektor selbst,

Ja.


> bei einer 2x2-Matrix kann der
> Spaltenraum, bei linearer Unabhängigkeit, aber auch eine
> Ebene darstellen, somit müssen diese beiden Vektore linear
> abhängig sein.

Der Spaltenraum ist bei linearer Unabhängigkeit eine Ebene, sonst eine Gerade.

>  
> Damit nun Spaltenraum = Nullraum gilt, muss doch der Vektor
> des Spaltenraums, ein Vielfaches des Vektors des Nullraums
> sein?

Ja, wenn der Nullraum und Spaltenraum gleich sein sollen, muß es sich beide Male um dieselbe Gerade handeln.

Also werden Spalten- und Zeilenraum von demselben Vektor aufgespannt.

>  
> [mm]\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix}[/mm]

Das hab' ich zuerst gar nicht verstanden - aber als ich es kritisieren wollte, ist's mir doch gekommen.
Du sagst: der Spaltenraum ist eine Gerade, wenn die beiden Spalten linear abhängig sind, und erhältst Du daraus diese Gleichung.

(Beachte: [mm] \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} [/mm] darf nicht der Nullvektor sein.)

>
> [mm]\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}[/mm]

Hiermit willst Du sagen, daß [mm] A*\mu\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} [/mm] gelten muß, wenn Spaltenraum und Nullraum übereinstimmen.

>  
>
> Sei [mm]\begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix}[/mm] =  
> [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}[/mm]

Ich würd's jetzt so machen:

Dann ist [mm] A=\begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} [/mm]

Weil [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} [/mm] auch den Nullraum aufspannen soll, gilt

[mm] \begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}. [/mm]

Hieraus erhält man [mm] \lambda=-1/3, [/mm]

also Deine Matrix.

Du hast eine richtige Lösung gefunden.

Gruß v. Angela


>  
> [mm]\lambda \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix}[/mm] = [mm]\lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>  
> [mm]\lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}[/mm] =
> [mm]\lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>  
> ->
>  
> [mm]\begin{bmatrix} 1 & \lambda \\ 3 & 3\lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ 3\lambda \\ \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>  
> [mm]\lambda[/mm] + [mm]3\lambda²[/mm] = 0 (zweite Gleichung ein Vielfaches
> von der ersten)
>  
> [mm]\lambda(1+3\lambda)[/mm] = 0 -> [mm]\lambda[/mm] = 0 oder [mm]1+3\lambda[/mm] = 0
> -> [mm]\lambda[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3},[/mm] somit ergibt sich für die
> Matrix A = [mm]\begin{bmatrix} 1 & -\bruch{1}{3} \\ 3 & -1 \\ \end{bmatrix}[/mm]
>  
> Für den Spaltenraum ergibt sich C(A) = < [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>,[/mm]
> da der zweite Vektor linear abhängig und für den Nullraum
> ergibt sich als Gleichungssystem:
>  
> [mm]\begin{matrix} 1 & -\bruch{1}{3} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}[/mm]
>  
> Also [mm]x_2[/mm] frei wählbar = 3 -> [mm]x_1[/mm] = 1. Insgesamt für N(A)
> = [mm]<\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}>[/mm]
>  
> Somit C(A) = N(A).
>  
> Würde die Lösung stimmen?
>  
> Gruß
>  itse


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