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| Aufgabe | [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & a \\
1 & a & 1 \\
a & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Das da oben ist die Matrix [mm] A_a
[/mm]
b= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
1) Bestimmen Sie [mm] Lös(A_a; [/mm] b) (in Abhängigkeit von a). |
Dazu habe ich mal eine Frage, wenn da nur einmal ein a vorkommen würde wäre das ja kein Problem aber ich verstehe nicht wie ich es in einer Zeilenstufenform bringen soll weil unten links ein a ist. wie mache ich dieses a zur 0?
[mm] \begin{pmatrix}
-1+a & -1+a & -a+a \\
0 & a-1 & 1-a \\
a-1 & 0 & 1-a
\end{pmatrix}
[/mm]
b= [mm] \begin{pmatrix} -1+a \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}
[/mm]
das hatte ich mal bei einem Versuch raus, müsste aber glaub falsch sein.
(ich habe es nicht hinbekommen b noch rechts in die Matrix reinzuschreiben)
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Hallo,
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\
1 & a & 1 \\
a & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
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> Das da oben ist die Matrix [mm]A_a[/mm]
>
> b= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\
3 \\
-4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> 1) Bestimmen Sie [mm]Lös(A_a;[/mm] b) (in Abhängigkeit von a).
> Dazu habe ich mal eine Frage, wenn da nur einmal ein a
> vorkommen würde wäre das ja kein Problem aber ich
> verstehe nicht wie ich es in einer Zeilenstufenform bringen
> soll weil unten links ein a ist. wie mache ich dieses a zur
> 0?
Das ist eine seltsame Frage. Ich denke zwar, dass ich verstehe was du meinst, aber du solltest dir angewöhnen, in der Mathematik sprachlich viel präziser zu sein. Und gründlicher auch:
>
> [mm]\begin{pmatrix} -1+a & -1+a & -a+a \\
0 & a-1 & 1-a \\
a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix}[/mm]
>
Die Reihenfolge in der du vorgegangen bist, ist sehr schwer nachvollziehbar. Abgesehen davon, dass man beim Gaussverfahren zweckmäßigerweise darauf achtet, bei der Reihenfolge der Zeilenumformungen ein gewisses Schema einzuhalten, ist mindestens eine deiner Additionen sinnlos. Der Eintrag oben rechts ist
-a+a=0
so etwas sollte man merken.
Und deine eigentliche Frage zielt vermutlich darauf, wie du jetzt die Zeilenstufenform vollends realisierst. Nun, es ist
-1+a=a-1
das sollte als Tipp eigentlich genügen. Du musst also noch die erste und die dritte Zeile voneinander subtrahieren.
>
> b= [mm]\begin{pmatrix} -1+a \\
2 \\
-5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> das hatte ich mal bei einem Versuch raus, müsste aber
> glaub falsch sein.
Der Lösungsvektor scheint mir bis dahin richtig zu sein. Aber es ist dir schon klar, dass du mit Ermittlung des LÖsungsvektors nicht fertig bist sondern dass es hier um die Struktur der Lösungsmenge eines LGS geht?
Gruß, Diophant
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$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $
mein erster Schritt war die zweite Zeile minus die erste Zeile.
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $
der vektor wäre $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] $
dann die dritte Zeile minus die erste zeile:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix} [/mm] $
der vektor wäre $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] $
nun komm ich nicht weiter. ja ich weiß das es ein LGS ist ^^ aber brauch ja erstmal eine Stufenform damit ich es danach ausrechnen kann.
jetzt musst doch unten links anstatt a-1 noch eine 0 stehen damit ich das LGS lösen kann in Abhängigkeit von a. und das war meine Frage wie bekomme ich das hin? bzw. ist das bis hierhin richtig?
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Hallo,
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\
1 & a & 1 \\
a & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mein erster Schritt war die zweite Zeile minus die erste
> Zeile.
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\
0 & a-1 & 1-a \\
a & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> der vektor wäre [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
2 \\
-4 \end{pmatrix}[/mm]
>
ok, das wäre mir jetzt klar, und es ist richtig.
> dann die dritte Zeile minus die erste zeile:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\
0 & a-1 & 1-a \\
a-1 & 0 & 1-a \end{pmatrix}[/mm]
>
> der vektor wäre [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
2 \\
-5 \end{pmatrix}[/mm]
>
Das ergibt keinen Sinn. Du solltest zunächst dafür sorgen, dass du in der linken Spalte bis auf die oberste Zeile Nullen bekommst. Also rechne mal
(3)-a*(1)
dann dürfte sich dein Problem hierauf reduzieren:
[mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\
0&a-1&1-a&2\\
0&1-a&1-a^2&-4-a\end {array} \right) [/mm]
Klick mal auf meine obige Matrix, um dir den Quelltext anzusehen. Ich geb ja zu, das ist von der Syntax her nicht so ganz einfach, aber das ist halt LaTeX hier, das musst du sowieso irgendwann lernen. 
Gruß, Diophant
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ja genau das war mein Problem.
Ich wusste ja nicht wie ich in der linken Spalte letze Zeile die 0 bekomme deswegen habe ich schon die nächste Spalte angeguckt und das war mein Fehler.
$ \left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&1-a&1-a^2&-4-a\end {array} \right) $
nun hab ich noch ein Problem. wenn ich die dritte Zeile plus die zweite rechne, bekomme ich:
$ \left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\ 0&a-1&1-a&2\\ 0&0&2-a^2-a&-2-a\end {array} \right) $
nun stellt sich die Frage wie berechne ich das weiter? :S
ich habe ja stehen: (2-a^2-a)z = -2-a
wenn ich es nach z umforme steht doch da:
z= \bruch{-2-a}{-a^2-a+2}
oder ist das komplett falsch? :S
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Hallo,
> ja genau das war mein Problem.
> Ich wusste ja nicht wie ich in der linken Spalte letze
> Zeile die 0 bekomme deswegen habe ich schon die nächste
> Spalte angeguckt und das war mein Fehler.
>
> [mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\
0&a-1&1-a&2\\
0&1-a&1-a^2&-4-a\end {array} \right)[/mm]
>
> nun hab ich noch ein Problem. wenn ich die dritte Zeile
> plus die zweite rechne, bekomme ich:
>
> [mm]\left( \begin {array}{ccc|c} 1&1&a&1\\
0&a-1&1-a&2\\
0&0&2-a^2-a&-2-a\end {array} \right)[/mm]
>
> nun stellt sich die Frage wie berechne ich das weiter? :S
>
> ich habe ja stehen: [mm](2-a^2-a)z[/mm] = -2-a
> wenn ich es nach z umforme steht doch da:
> z= [mm]\bruch{-2-a}{-a^2-a+2}[/mm]
>
> oder ist das komplett falsch? :S
nein, das ist bis dahin jetzt komplett richtig.
Jetzt kommt ja erst die eigentliche Aufgabe: Gibt es Werte für a, so dass es keine Lösung für z gibt? Gibt es Werte, so dass es unendlich viele Lösungen gibt? Diese Werte sind zu ermitteln um dann die Struktur der Lösungsmenge in Abhängigkeit von a angeben zu können. Vorher würde ich aber zur Sicherheit noch die beiden anderen Lösungen berechnen, also in deiner Schreibweise die für x und y.
Gruß, Diophant
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Ich habe jetzt die pq-Formel angewendet und habe die NS bei -2 und 1. da der Nenner niemals Null werden darf. Es gibt keine lösung wenn a= -2 oder 1 ist. und für a ungleich -2 und 1 gibt es unendlich viele lösungen?
Richtig?
und für x bzw y muss ich es doch gar nicht mehr machen oder? (es wäre denn nur für die eigene Sicherheit als Probe) oder?
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Hallo,
> Ich habe jetzt die pq-Formel angewendet und habe die NS bei
> -2 und 1. da der Nenner niemals Null werden darf. Es gibt
> keine lösung wenn a= -2 oder 1 ist. und für a ungleich
> -2 und 1 gibt es unendlich viele lösungen?
>
> Richtig?
Nein, das ist nicht richtig. Für a=-2 werden ja Zähler und Nenner Null. Um dir kloar zu machen, was hier passiert, betrachtest du besser die Gleichung
[mm] (-2-a)=(-a^2-a+2)*z
[/mm]
Für [mm] a\in\IR\\\{-2;1\} [/mm] gibt es eine eindeutige Lösung, nicht unendlich viele.
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> und für x bzw y muss ich es doch gar nicht mehr machen
> oder? (es wäre denn nur für die eigene Sicherheit als
> Probe) oder?
Das hat nichts mit der Probe zu tun. Du musst sowieso den Lösungsvektor angeben, und den hast du erst, wenn die Koeffizientenmatrix komplett diagonalisisert ist. Und ganz nebenbei: es sind auch Lösungsmengen vorstellbar, in denen einzelne Komponenten konstant und andere von einem Parameter abhängig sind. Das ist zwar hier nicht so, aber man weiß es nicht, bevor man es nicht berechnet hat.
Gruß, Diophant
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okay danke :) hab es verstanden. nun erstmal ne Frühstückspause,
vielen daaank :)
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