Matrix nicht diagonalisierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 09.05.2006 | | Autor: | achso |
| Aufgabe | | Seien A= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] und (...) gegeben. Zeigen Sie (...) daß A nicht diagonalisierbar ist. |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Vorgehensweise richtig ist.
Ich habe zuerst den Eigenwert berechnte [mm] (\lambda [/mm] = 2, doppelte Nullstelle) und daraus den Eigenraum [mm] v_{\lambda} [/mm] = [mm] \pmat{t \\ 0} [/mm] mit t [mm] \in \mathbb{R} \setminus [/mm] {0}.
Nun ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn ein S existiert sodaß
A = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
Das S entsteht aus den Eigenvektoren. Und jetzt meine Frage: Wie gehts jetzt weiter? Reicht es schon daß mein Eigenvektor die Dimension 1 hat und damit kein solches S existieren kann?
Außerdem habe ich gelesen, daß manchmal bei doppelten Nullstellen zwei Eigenvektoren entstehen - manchmal aber nicht. Woran macht man das denn fest?
Würde mich freuen wenn mir jemand das Thema Diagonalisierbarkeit etwas erläutern könnte.
Tschö,
achso
Und hier der wichtigste Satz in meinem Artikel:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo achso!
> Seien A= [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm] und (...) gegeben. Zeigen
> Sie (...) daß A nicht diagonalisierbar ist.
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Vorgehensweise
> richtig ist.
>
> Ich habe zuerst den Eigenwert berechnte [mm](\lambda[/mm] = 2,
> doppelte Nullstelle) und daraus den Eigenraum [mm]v_{\lambda}[/mm] =
> [mm]\pmat{t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in \mathbb{R} \setminus[/mm] {0}.
>
> Nun ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn ein S
> existiert sodaß
>
> A = [mm]S^{-1}AS[/mm]
>
> Das S entsteht aus den Eigenvektoren. Und jetzt meine
> Frage: Wie gehts jetzt weiter? Reicht es schon daß mein
> Eigenvektor die Dimension 1 hat und damit kein solches S
> existieren kann?
Genau. Wenn es ein solches $S$ gaebe, dann waere der Eigenraum zweidimensional. Du hast aber ausgerechnet, dass er nur eindimensional ist. Widerspruch.
> Außerdem habe ich gelesen, daß manchmal bei doppelten
> Nullstellen zwei Eigenvektoren entstehen - manchmal aber
Du meinst das die Dimension des Eigenraums 1 oder 2 ist.
> nicht. Woran macht man das denn fest?
Nun, halt daran ob der Eigenraum 1- oder 2-dimensional ist. Bei nicht-diagonalisierbaren Matrizen ist der Eigenraum bei mindestens einem Eigenwert ``zu klein''. Bei diagonalisierbaren Matrizen sind die Eigenraeume immer ``so gross wie es nur geht''.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 09.05.2006 | | Autor: | achso |
Hallo Felix ;)
Danke für die Antwort - dann lag ich also doch nicht daneben.
Nochmal zu den mehrfachen Nullstellen:
Z.B. hat [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] das charakt. Polynom [mm] \chi (\lambda) [/mm] = [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 1)^2, [/mm] also auch eine doppelte Nullstelle.
Würde man jetzt einfach zwei Vektoren aus dem Eigenraum hernehmen um S zu besetzen? Oder allgemeiner - wenn das charakt. Polynom eine n-fache Nullstelle hat, nimmt man dann n Vektoren aus diesem Eigenraum und schaut nach ob ein S existiert? (Wenn das charakt. Polynom in Linearfaktoren zerfällt ists ja klar, nur bei mehrfachen Nullstellen bin ich mir nicht sicher).
Tschö,
achso
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