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Forum "Uni-Numerik" - Matrix und Eigenwerte
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Matrix und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:07 Do 11.04.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
Nummer 1:
Sei A ∈ R^(3,3) mit charakteristischem Polynom χA(λ) = det(A−λI) = λ^3 −λ, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.
a) Geben Sie den Rang der Matrizen A, [mm] A^2, A^2 [/mm] + I und [mm] A^2 [/mm] −I an.
b) Bestimmen Sie alle r, s, t∈ R mit rI + sA + [mm] tA^2 [/mm] = 0.
c) Zeigen Sie, dass [mm] A^{404} [/mm] = [mm] A^{1988} [/mm] = [mm] A^2 [/mm] ist.
d) Geben Sie eine solche reelle Matrix A an.

Nummer 2:
Von einer Matrix A ∈ R^(5,5) sei bekannt, dass λ = 1−i ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 ist und dass für die Determinante det(A) = 4 gilt. Bestimmen Sie die restlichen Eigenwerte sowie die Spur von A.


Hallo Forum,

bei den beiden Aufgaben oben komme ich nicht richtig weiter. Da bei Nummer eins keine konkrete Matrix gegeben ist, weiß ich nicht wie ich konkret den Rang beziehungsweise die quadrierte Matrix angeben soll, vielleicht wisst ihr einen Tipp.
Bei der anderen Aufgabe wäre vielleicht ein erster Ansatz hilfreich?!

Danke

        
Bezug
Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Do 11.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Sei A ∈ R^(3,3) mit charakteristischem Polynom χA(λ) =
> det(A−λI) = λ^3 −λ, wobei I die Einheitsmatrix
> bezeichnet.

Mal ein paar Aufgaben / zielfuehrende Fragen:

1.) Bestimme alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
2.) Wie kannst du das Polynom dann schreiben?
3.) Was sagt dir das bezueglich der Diagonalisierbarkeit?

4.) Sei nun D die Diagonalmatrix zu A, wie sieht D dann aus und welcher Zusammenhang besteht dann zwischen D und A?

5.) Was folgt dann fuer [mm] $A^2$? [/mm]

>  Von einer Matrix A ∈ R^(5,5) sei bekannt, dass λ =
> 1−i ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 ist
> und dass für die Determinante det(A) = 4 gilt. Bestimmen
> Sie die restlichen Eigenwerte sowie die Spur von A.

>  Bei der anderen Aufgabe wäre vielleicht ein erster Ansatz
> hilfreich?!

1.) Wie viele Nullstellen hat das charakteristische Polynom, wenn du Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten zaehlst?
2.) Welcher Art (komplex / reell) muessen die restlichen Eigenwerte sein? (Es gibt zwei Moegliche Kombinationen)
3.) Wie berechnet sich die Determinante aus den Eigenwerten? (daraus reduzieren sich die Moeglichkeiten von 2.) auf eine)
4.) Die EW kannst du dann ueber die Gleichung aus 3.) bestimmen.

Gruss,
Gono

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Matrix und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Do 11.04.2019
Autor: Tobikall

Vielen Dank @Gonozal_IX für deine Antwort.

zu 1.
die Nullstellen vom cha. Polynom liegen ja bei 0,-1 und 1. Das polynom ist somit äquivalent zu λ^3-λ=λ(λ^2-1). Die Matrix ist also diagonalisierbar, da das ch. Polynom in Linearfaktoren mit je Vielfachheit 1 zerfällt. Die Diagonalmatrix hat dann die Einträge [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& 0& 1} [/mm]
Dann gilt damit [mm] D=T^{-1}AT [/mm]

Jetzt stehe ich aber immer noch auf dem Schlauch was daraus für [mm] A^2 [/mm] und so weiter folgt....?

zu 2.
Der gegebene Eigenwert hat ja die Vielfachheit zwei, und zählt somit als 2 Nullstellen?! Müssen dann die restlichen Eigenwerte auch komplex sein, aber wie viele gibt es dann noch?
Man müsste dann die Determinante aus den Produkten der Einzelwerte berechnen können, da man diese ja in eine Diagonalmatrix einbauen kann.

Bezug
                        
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Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Di 16.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sorry, war uebers WE nicht zu Hause:

> die Nullstellen vom cha. Polynom liegen ja bei 0,-1 und 1.

[ok]

> Die Matrix ist also diagonalisierbar, da das ch. Polynom in
> Linearfaktoren mit je Vielfachheit 1 zerfällt. Die
> Diagonalmatrix hat dann die Einträge [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0& 0& 1}[/mm]

[ok]
Und der Rang der Diagonalmatrix ist gleich dem Rang der Matrix!
  

> Dann gilt damit [mm]D=T^{-1}AT[/mm]

[ok]
Und analog [mm]TDT^{-1}=A[/mm]
Berechne damit mal [mm] $A^2$ [/mm] und die restlichen Matrizzen

> zu 2.
>  Der gegebene Eigenwert hat ja die Vielfachheit zwei, und
> zählt somit als 2 Nullstellen?! Müssen dann die
> restlichen Eigenwerte auch komplex sein, aber wie viele
> gibt es dann noch?
>  Man müsste dann die Determinante aus den Produkten der
> Einzelwerte berechnen können, da man diese ja in eine
> Diagonalmatrix einbauen kann.

Das hast du mit Fred ja schon erarbeitet.... ich wollte dich zwar noch erkennen lassen, dass der konjugiert Komplexe Wert auch vorkommen muss, aber so ging es auch.

Gruss,
Gono

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Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Fr 12.04.2019
Autor: fred97

Zu 1): sei $p( [mm] \lambda)=\lambda^3 -\lambda [/mm] = [mm] \lambda( \lambda^2 [/mm] -1)= [mm] \lambda [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] -1)( [mm] \lambda [/mm] +1)$ das char. Polynom von A.

Die Eigenwerte von A sind damit klar.

Mit Cayley - Hamilton folgt:

[mm] $0=p(A)=A^3-A=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)$. [/mm] also

[mm] $\IR^3= [/mm] ker(A) [mm] \oplus ker(A^2-I)= [/mm] ker(A) [mm] \oplus [/mm] ker(A-I) [mm] \oplus [/mm] ker(A+I).$

Hieraus sieht man: [mm] $\dim [/mm] ker(A)=1.$ Mit dem Rangsatz folgt rang(A)=2.

Zeige nun Du: [mm] rang(A^2-I)=1. [/mm]

Weiter solltest Du sehen, dass [mm] A^2+I [/mm] invertierbar ist.

Nun sei x [mm] \in ker(A^2), [/mm] also $A^2x=0$. Aus [mm] A^3=A [/mm] folgt $Ax=A(A^2x)=0,$ also x [mm] \in [/mm] ker(A). Damit haben wir [mm] ker(A)=ker(A^2). [/mm] Mit dem Rangsatz folgt [mm] rang(A^2)=2. [/mm]

Bist Du nun in der Lage b),c) und d) selbst zu schaffen ?

Zu 2): Da A reell ist und 1-i  ein Eigenwert mit alg. Vielfachheit 2 ist, ist auch 1+i= [mm] \overline{1-i} [/mm]  ein Eigenwert mit alg. Vielfachheit 2. Da 5 ungerade ist hat A noch einen reellen Eigenwert , nennen wir ihn r.


Das Produkt der Eigenwerte = det(A), also

[mm] (1-i)^2(1+i)^2r=4. [/mm]

Bestimme daraus r.

Die Summe der Eigenwerte liefert die spur(A), also

spur (A)=1-i+1-i+1+i+1+i+r=4+r= ?



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Matrix und Eigenwerte: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:09 Fr 12.04.2019
Autor: Tobikall

zu1.
Leider hatten wir in der Vorlesung, da es noch sehr früh imSemester ist, Cayley-Hamilton noch gar nicht...
Gibt es daher keinen einfacheren Weg, um die Ränge der Matrizen zu berechnen, oder ist dies der einzige sinnvolle Weg?
Daran hängt es bei mir dann auch bei den Aufgaben b-d...
zu2.
Hier war mir nicht bewusst, dass $ [mm] \overline{1-i} [/mm] $ ein Eigenwert sein muss, jetzt lässt sich r aber leicht berechnen:
$ [mm] (1-i)^2(1+i)^2r=4. [/mm] $ daraus folgt, dass r=1 ist und somit ist spur(A)=5
Somit ist diese Aufgabe gelöst.

Danke schonmal :)

Bezug
                        
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Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Fr 12.04.2019
Autor: fred97


> zu1.
>  Leider hatten wir in der Vorlesung, da es noch sehr früh
> imSemester ist, Cayley-Hamilton noch gar nicht...


Vor 17 Monaten hast  Du hier  in diesem Forum schon Fragen  zur Linearen Algebra gestellt,  und Ihr  hattet  Cayley -Hamilton
noch nicht?


>  Gibt es daher keinen einfacheren Weg, um die Ränge der
> Matrizen zu berechnen, oder ist dies der einzige sinnvolle
> Weg?
>  Daran hängt es bei mir dann auch bei den Aufgaben b-d...
>  zu2.
>  Hier war mir nicht bewusst, dass [mm]\overline{1-i}[/mm] ein
> Eigenwert sein muss, jetzt lässt sich r aber leicht
> berechnen:
>  [mm](1-i)^2(1+i)^2r=4.[/mm] daraus folgt, dass r=1 ist und somit
> ist spur(A)=5
>  Somit ist diese Aufgabe gelöst.
>  
> Danke schonmal :)


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Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Fr 12.04.2019
Autor: Tobikall

Hallo fred,

vom Satz von Cayley-Hamilton habe ich tatsächlich noch nie etwas gehört...
Das kann aber auch daran liegen, dass ich Mathe nur auf Lehramt studiere und nur eine Vorlesung im Semester habe.
Habe mir den Satz online auch angelesen, allerdings sollte das ja eher nicht der Sinn der Aufgabe sein...

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Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Sa 13.04.2019
Autor: Tobikall

Vielleicht kann mir jemand ein Beispiel einer solchen Matrix geben, das würde mir sicherlich weiterhelfen.
Bei der b) habe ich halt das Problem, dass keine konkrete Matrix gegeben ist, kann man dann die Variablen über die gegebene Determinante und die Eigenwerte ausrechnen oder was ist hier der Trick?

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Matrix und Eigenwerte: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 14.04.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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