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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Di 22.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | 4. Beschreiben Sie die Löungsmenge des folgenden Gleichungssystems
(wobei x1, . . . , x5 [mm] \in \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] = {0, 1, 2}: der Körper mit drei Elementen).
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = +1
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1
−x1 − x2 + x3 + x4 + x5 = +1
x1 − x2 − x3 − x4 + x5 = −1 |
hallo an alle,
ich habe schon mal fast die gleiche aufgabe ins matheraum gestellt...
also, ich habe hier ein verständnisproblem, und zwar geht es ja um restklassenrechen mod 3, so gilt:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2 0 1 2 0 1 2 0 1
(das soll eine tabelle darstellen), und:
1 +2 =2
2+2 =1
1 * 1=1
2+2=1
2+1=0
nach mod 3,
so, meine frage: erste ich jetzt gleich alles mit der ersten tabelle, also so:
1 1 1 1 1 = 1 ( wäre dann die erste gleichung, da -1 = 1 ist nach mod 3)
usw...
dann müsste ich ja ganz normal mit der elimination weitermachen, meine 2. frage dazu: ich versuche ja auf 0 zu kommen, dabei nehme ich ja zum beispiel die erste gleichung mal -1 und addiere sie zu der II:
-I + II so und jetzt die frage dazu: halte ich mich an dieser rechnung an die restklassenrechnung (s.o)???
aber so würde bei mir 0= -2 rauskommen, und das kann ja unmöglich sein ://
wie setze ich also dieses restklasserechen hier ein?
danke für tipps, erklärungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 22.01.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
prinzipiell gehst du genau richtig ran. Betrachte die erweiterte Koeefizientenmatrix deines linearen Gleichungssystems (LGS) modulo 3:
[mm] $\pmat{1&2&1&2&1&1\\1&1&1&1&1&2\\2&2&1&1&1&1\\1&2&2&2&1&2}$
[/mm]
Das löst du nun ganz genauso, wie du es über jedem anderen Körper (Ring) machen würdest. Beachte allerdings, dass z.B. die Multiplikation mit (-1) dann der Multiplikation mit 2 entspricht, da [mm] $-1\equiv [/mm] 2$. Genauso ist Division durch 2 in Wahrheit Multiplikation mit 2, da 2 das Inverse von 2 ist: [mm] $2*2\equiv [/mm] 1$
Achja, falls du auf einen Widerspruch kommst wie $0=2$, kann das sehr wohl möglich sein, es heißt nur, dass die Lösungsmenge des LGS leer ist.
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also, ich hab das jetzt versucht streng danach zu lösen und erhalte somit: x1 = 0
x2 = 2+k
x3 = 1
x4= 2- k
x5 = k
wäre schön, wenn man das kurz nachrechnen könnte, meine matrix:
1 2 1 2 1 1
0 2 0 2 0 2
0 0 1 0 0 1
0 0 0 2 2 1
nach der elimintaion
dankschön für die erklärung, ich freue mich auf weitere antworten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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