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| Aufgabe | | Vervollständigen Sie die Matrix zu einer symmetrischen Matrix ! |
Hallo Leute,
gegeben ist folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & . \\ 3 & 0 & . & . \\ 2 & . & . & .}
[/mm]
Die Matrix soll nun so vervollständigt werden, dass sie symmetrisch ist.
Ich habe das folgendermaßen gelöst:
[mm] \pmat{ 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 5}
[/mm]
Allerdings weicht die Musterlösung ab; dort wurden anstelle der Zahlen (die ich eingesetzt habe) Buchstaben eingesetzt:
[mm] \pmat{ 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & a \\ 3 & 0 & d & b \\ 2 & a & b & c}
[/mm]
Zudem gibt es die Anmerkung, dass a, b, c und d beliebig sind.
Das verstehe ich nicht. Warum sind die beliebig? Wenn a = 10 wäre, dann wäre die Matrix doch nicht mehr symmetrisch.
Könnte mir das jemand erklären?
Besten Dank vorab.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vervollständigen Sie die Matrix zu einer symmetrischen
> Matrix !
> Hallo Leute,
>
> gegeben ist folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & . \\ 3 & 0 & . & . \\ 2 & . & . & .}[/mm]
>
> Die Matrix soll nun so vervollständigt werden, dass sie
> symmetrisch ist.
>
> Ich habe das folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]\pmat{ 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 5}[/mm]
passt ja auch - Du hast halt nur eine spezielle symmetrische Matrix daraus
gemacht. Aber laut Aufgabenformulerung reicht das ja auch. (So nebenbei:
Deine Matrix ist sogar sehr speziell - aber darauf gehe ich unten nochmal
ein!)
> Allerdings weicht die Musterlösung ab; dort wurden
> anstelle der Zahlen (die ich eingesetzt habe) Buchstaben
> eingesetzt:
>
> [mm]\pmat{ 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & a \\ 3 & 0 & d & b \\ 2 & a & b & c}[/mm]
>
> Zudem gibt es die Anmerkung, dass a, b, c und d beliebig
> sind.
>
> Das verstehe ich nicht.
Was verstehst Du nicht? Es muss ja nur, nennen wir die Matrix mal
[mm] $A=(a_{i,j})_{\substack{i=1,2,3,4\\j=1,2,34}}\,,$ [/mm] dann stets [mm] $a_{i,j}=a_{j,i}$ [/mm] gelten. In der Musterlösung wird halt
etwa
[mm] $$a_{2,4}:=a,\;a_{3,3}:=d,\;a_{3,4}:=b\; \text{ und }\;a_{4,4}:=c\,$$ [/mm]
gesetzt, wobei $a,b,c,d$ beliebig, aber fest sind (quasi Parameter).
Daraus folgt dann, dass die Matrix die obige Form haben muss. Bei Dir ist
halt speziell [mm] $a=3\,,$ $b=1\,,$ $c=5\,$ [/mm] und [mm] $d=2\,.$ [/mm]
> Warum sind die beliebig? Wenn a =
> 10 wäre, dann wäre die Matrix doch nicht mehr
> symmetrisch.
Doch: Wie gesagt, es muss nur [mm] $a_{i,j}=a_{j,i}$ [/mm] stets gelten.
> Könnte mir das jemand erklären?
Ja, ich sehe nämlich Deinen Fehler (sagen wir mal "gedanklichen Fehler"):
Dass eine Matrix [mm] $$A=(a_{i,j})_{\substack{i=1,...,n\\j=1,...,n}}$$ [/mm]
symmetrisch ist (d.h., erneut gesagt: stets soll [mm] $a_{i,j}=a_{j,i}$ [/mm] gelten),
hat was mit der Spiegelung an der Diagonalen von links OBEN nach rechts
UNTEN zu tun (bspw. muss der Eintrag ganz rechts oben, bei Dir die
[mm] $2=a_{1,4}\,,$ [/mm] mit dem Eintrag links unten, also [mm] $a_{4,1}$ [/mm] in dem Beispiel, übereinstimmen).
Du hast "die Diagonale von links UNTEN nach rechts OBEN" als
'Spiegeldiagonale' genommen. (Ich hab' jetzt keine Lust, mir zu überlegen,
wie man da die Gleichheiten der Einträge formal beschreiben könnte...)
P.S. Merke Dir einfach: Das "symmetrisch" bezieht sich bei Matrizen [mm] $A\,$
[/mm]
wie oben auf die "Spiegeldiagonale" mit den Einträgen [mm] $a_{i,i}\,,$ [/mm] und
dann merkst Du auch: [mm] "$a_{1,1}$ [/mm] ist der Eintrag links OBEN und [mm] $a_{n,n}$
[/mm]
ist der Eintrag rechts UNTEN".
P.P.S. Zu den Matrixeinträgen gibt's die Eselsbrücke
"Zuerst Zeilen, später Spalten."
D.h. mit [mm] $a_{i,j}$ [/mm] wird "der Eintrag in der [mm] $i\,$-ten [/mm] Zeile und [mm] $j\,$-ten [/mm]
Spalte" bezeichnet.
Gruß,
Marcel
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