Matrix zu Basis/Kern finden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 So 11.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Matrix A zu einer [mm] \IR-linearen [/mm] Abbildung [mm] f_{A}, [/mm] deren Kern [mm] \vektor{ 3 \\ 0 \\ 1} [/mm] und deren Bild [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2 \\ 0} [/mm] enthält. |
Mein bisheriges Vorgehen:
Ich weiss, dass die Abbildung der Form [mm] f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{n} [/mm] sein muss, also muss gilt durch den Dimensionssatz:
dim(A) = dim(Bild(A)) + dim(Kern(A)) [mm] \Rightarrow [/mm] Kern(A) = 2 Elemente, Bild(A) = 2 Elemente.
Also habe ich für das Bild alle Elemente gegeben, für den Kern fehlt mir eines was ich frei wählen kann. Weiter weiß ich durch die gegebenen Vektoren dass die Matrix 4 x 3 sein muss. Also suche ich eine Abbildung der Form [mm] f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{3}
[/mm]
Nun müsste ich doch eigentlich nur die Ganzen Berechnungen rückwärtslaufen, aber irgendwie will das nicht so hinhauen:
Also für das Bild:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ a & b & c & d } [/mm] wobei die Zeile abcd zu einer Nullzeile wird, also a = b = c = d = 0.
Kern:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1} \Rightarrow [/mm] eine Zeile muss so aussehen: ( 1 0 -3)
denn c [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Naja weiter weiss ich nun nicht...
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> Finden Sie eine Matrix A zu einer [mm]\IR-linearen[/mm] Abbildung
> [mm]f_{A},[/mm] deren Kern [mm]\vektor{ 3 \\ 0 \\ 1}[/mm] und deren Bild
> [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> enthält.
> Mein bisheriges Vorgehen:
> Ich weiss, dass die Abbildung der Form [mm]f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{n}[/mm]
Hallo,
der Kern ist doch ein Unterraum, des Urbildraum. Und die Elemente deines Kernes sind 3dimensional.
Das Bild ist ein Unterraum, des Bildraumes, hier vierdimensional. Somit gilt doch: [mm] f:\IR^3\to\IR^4
[/mm]
> sein muss, also muss gilt durch den Dimensionssatz:
> dim(A) = dim(Bild(A)) + dim(Kern(A)) [mm]\Rightarrow[/mm] Kern(A) =
> 2 Elemente, Bild(A) = 2 Elemente.
>
> Also habe ich für das Bild alle Elemente gegeben, für den
> Kern fehlt mir eines was ich frei wählen kann. Weiter weiß
> ich durch die gegebenen Vektoren dass die Matrix 4 x 3 sein
> muss. Also suche ich eine Abbildung der Form [mm]f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{3}[/mm]
>
> Nun müsste ich doch eigentlich nur die Ganzen Berechnungen
> rückwärtslaufen, aber irgendwie will das nicht so
> hinhauen:
> Also für das Bild:
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ a & b & c & d }[/mm]
> wobei die Zeile abcd zu einer Nullzeile wird, also a = b =
> c = d = 0.
>
> Kern:
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 1} \Rightarrow[/mm] eine Zeile muss so
> aussehen: ( 1 0 -3)
> denn c [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm]
>
Matrix*Element aus Kern = [mm] \vec{0}. [/mm] Das kannst du ja hier gar nicht berechnen.
> Naja weiter weiss ich nun nicht...
Gruß Patrick
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Hmm im Prinzip meinte ich das ja, hatte es nur falsch aufgeschrieben. Also die Matrizen sind doch so richtig oder?
Also ich muss doch nun das hier lösen:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & a \\ 0 & 1 & b \\ -1 & 2 & c \\ 1 & 0 & d }
[/mm]
Wobei ich die letzte Spalten als Linearkombination der ersten beiden schreiben muss, damit die lineare Unabhängigkeit des Bildes nicht verletzt ist.
Nur wie bringe ich den Kern da mit rein?
EDIT:
So habe nun die Lösung selber gefunden. Wäre cool wenn jemand den Lösungsweg vielleicht mal kontrollieren könnte, gerade die Begründungen warum ich was tue würde ich gerne korrigiert wissen:
Also: Elemente des Bildes haben 4 Zeilen also gilt für [mm] f_{A}: \IR^{n} \to \IR^{4}.
[/mm]
Der Dimensionssatz ergibt, dass die Dimension mindestens drei sein muss, da: dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = 1 + 2 = 3 [mm] \Rightarrow f_{A}: \IR^{3} \to \IR^{4}. [/mm] (reicht das so bzw. kann man das auch noch anders "sehen"?)
So nun schreibe ich das Bild einfach "normal" in die Matrix rein, denn das Bild ist ja ein Erzeugendensystem meiner "Zielmenge". (also hier alle Werte die ich in [mm] \IR^{4} [/mm] erreichen kann). Damit die Abbildung dann korrekt definiert ist müssen diese Vektoren vorhanden sein, sonst hätte ich ja keine Abbildung mit diesen zwei Vektoren als Bild. (Kann man das so begründen?)
[mm] \pmat{ 2 & 3 & a \\ 0 & 1 & b \\ -1 & 2 & c \\ 1 & 0 & d }
[/mm]
Für den Kern muss ja gelten [mm] f_{A}(v) [/mm] = 0 v [mm] \in \IR^{3}. [/mm] Also genügt es doch diese Gleichung zu lösen:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & a \\ 0 & 1 & b \\ -1 & 2 & c \\ 1 & 0 & d } \vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow [/mm] a = -6, b = 0, c = 3, d = -3
Also ist die Matrix:
[mm] \pmat{ 2 & 3 & -6 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -3 }[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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