Matrixberechnung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Fr 04.01.2008 | | Autor: | haZee |
| Aufgabe | Die Matrix X ist aus der Gleichung A*X*B=C mit
[mm] A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} C=\begin{pmatrix}
3 & -2 & 5 \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 3 & 2
\end{pmatrix} [/mm] zu berechnen. |
Also ich würde jetzt zuerst nach X umstellen...
X = C /(A*B)
aber ich dachte immer man kann keine gleichen Matrizen miteinander multiplizieren??? Wie funktioniert das? Bitte helft mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Fr 04.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was stellst du dir unter der Division von matrizen vor?
Multiplizier die Gleichung von hinten mit [mm] B^{-1}, [/mm] von vorn mit [mm] A^{-1}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Sa 05.01.2008 | | Autor: | haZee |
also die inverse Matrix zu A ist [mm] \begin{pmatrix}
-1 & 1 & -2 \\
-2 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{pmatrix} [/mm] und die inverse zu B ist [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] , nicht wahr?
Aber wie berechne ich denn jetzt X? versteh ich nich. was meinst du denn mit vorne und hinten? X = [mm] C*A^{-1}*B^{-1} [/mm] so? und wie multipliziere ich quadratische Matrizen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 05.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> also die inverse Matrix zu A ist [mm]\begin{pmatrix}
-1 & 1 & -2 \\
-2 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
> und die inverse zu B ist [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm] ,
> nicht wahr?
Ja.
> Aber wie berechne ich denn jetzt X? versteh ich nich. was
Es gibt einige Rechenregeln, die man bei Matrizen anwenden kann. Z.B. ist [mm] A*A^{-1}=E [/mm] - die Einheitsmatrix. Und für jedes B der selben Dimension ist B*E=E*B=B. Das "Teilen" funktioniert bei Matrizen mittels der Multiplikation mit der Inversen (bei "normalen" Zahlen ist es eigentlich auch so). Z.B. ist AX=C das gleiche wie [mm] A^{-1}AX=A^{-1}C, [/mm] oder [mm] EX=A^{-1}C [/mm] oder [mm] X=A^{-1}C.
[/mm]
> meinst du denn mit vorne und hinten? X = [mm]C*A^{-1}*B^{-1}[/mm]
> so? und wie multipliziere ich quadratische Matrizen?
Nein, nicht so. Es ist außerdem zu beachten, dass [mm] A*B\not=B*A!
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 05.01.2008 | | Autor: | haZee |
hä? completely confused! :) das versteh ich nicht...wenn du sagst, dass man matrizen bei der division mit der inversen mutipliziert....warum ist dann X = C * [mm] A^{-1} [/mm] * [mm] B^{-1} [/mm] nicht richtig? was mach ich denn falsch?
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Bei der Multiplikation treten einige Besonderheiten auf, die bei Zahlen nicht da sind.
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. man kann sie beim Multiplizieren nicht vertauschen. Beispiel:
Zahlen:
2*3 = 3*2 = 6
Matrizen:
Sei A := [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm] B:= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Nun ist
AB = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
BA = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also AB [mm] \not= [/mm] BA !!
Nun muss man also auch bei Umformungsschritten entsprechend Acht geben:
Zunächst hast du die Gleichung
A*X*B = C | [mm] (...)*B^{-1} [/mm] "rechtsseitig multiplizieren"
[mm] \gdw A*X*B*B^{-1} [/mm] = C * [mm] B^{-1} [/mm] | ausrechnen
[mm] \gdw [/mm] A*X = C * [mm] B^{-1}
[/mm]
Und nun Anwendung des oben gelernten: Wenn wir jetzt wieder rechtsseitig multiplizieren würden, also einfach | [mm] (...)*A^{-1}, [/mm] würde dastehen:
[mm] \gdw A*X*A^{-1} [/mm] = C * [mm] B^{-1} [/mm] * [mm] A^{-1}
[/mm]
Das ist jetzt zwar noch richtig, nützt uns aber nichts, denn wir dürfen auf der linken Seite der Gleichung jetzt nicht einfach "X" hinschreiben, denn es muss ja nicht zwangshaft gelten: A*X = X*A (Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ).
Wir dürfen also NICHT RECHNEN:
[mm] \gdw X*A*A^{-1} [/mm] = C * [mm] B^{-1} [/mm] * [mm] A^{-1} [/mm] | ausrechnen
[mm] \gdw [/mm] X = C * [mm] B^{-1} [/mm] * [mm] A^{-1}
[/mm]
Richtig wäre, wenn man oben linksseitig multipliziert:
[mm] \gdw [/mm] A*X = C * [mm] B^{-1} [/mm] | [mm] A^{-1}*(...) [/mm] "linksseitig multiplizieren"
[mm] \gdw A^{-1}*A*X [/mm] = [mm] A^{-1}*C [/mm] * [mm] B^{-1} [/mm] | ausrechnen
[mm] \gdw [/mm] X = [mm] A^{-1}*C [/mm] * [mm] B^{-1}
[/mm]
Okay?
Zur Berechnung musst du nun also deine Matrizen multiplizieren (und vorher invertieren, was du ja schon gemacht hast)
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Bei der Multiplikation treten einige Besonderheiten auf, die bei Zahlen nicht da sind.
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. man kann sie beim Multiplizieren nicht vertauschen. Beispiel:
Zahlen:
2*3 = 3*2 = 6
Matrizen:
Sei A := [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm] B:= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Nun ist
AB = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
BA = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also AB [mm] \not= [/mm] BA !!
Nun muss man also auch bei Umformungsschritten entsprechend Acht geben:
Zunächst hast du die Gleichung
A*X*B = C | [mm] (...)*B^{-1} [/mm] "rechtsseitig multiplizieren"
[mm] \gdw A*X*B*B^{-1} [/mm] = [mm] C*B^{-1} [/mm] | ausrechnen
[mm] \gdw [/mm] A*X = [mm] C*B^{-1}
[/mm]
Und nun Anwendung des oben gelernten: Wenn wir jetzt wieder rechtsseitig multiplizieren würden, also einfach | [mm] (...)*A^{-1}, [/mm] würde dastehen:
[mm] \gdw A*X*A^{-1} [/mm] = [mm] C*B^{-1}*A^{-1}
[/mm]
Das ist jetzt zwar noch richtig, nützt uns aber nichts, denn wir dürfen auf der linken Seite der Gleichung jetzt nicht einfach "X" hinschreiben, denn es muss ja nicht zwangshaft gelten: A*X = X*A (Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ).
Wir dürfen also NICHT RECHNEN:
[mm] \gdw X*A*A^{-1} [/mm] = [mm] C*B^{-1}*A^{-1} [/mm] | ausrechnen
[mm] \gdw [/mm] X = [mm] C*B^{-1}*A^{-1}
[/mm]
Richtig wäre, wenn man oben linksseitig multipliziert:
[mm] \gdw [/mm] A*X = [mm] C*B^{-1} [/mm] | [mm] A^{-1}*(...) [/mm] "linksseitig multiplizieren"
[mm] \gdw A^{-1}*A*X [/mm] = [mm] A^{-1}*C*B^{-1} [/mm] | ausrechnen
[mm] \gdw [/mm] X = [mm] A^{-1}*C*B^{-1}
[/mm]
Okay?
Zur Berechnung musst du nun also deine Matrizen multiplizieren (und vorher invertieren, was du ja schon gemacht hast)
X = [mm] \pmat{ -1 & 1 & - 2\\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & - 1 & 2 }\pmat{ 3 & -2 & 5 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 2 }\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Zunächst erste Multiplikation [mm] A^{-1}C [/mm] :
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -2\\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 }\pmat{ 3 & -2 & 5 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 2 } [/mm] = ... = [mm] \pmat{ -2 & -4 & -11\\ -5 & 1 & -14 \\ 5 & 2 & 16 }
[/mm]
Nun diese erhaltene Matrix noch mit [mm] B^{-1} [/mm] multiplizieren:
[mm] \pmat{ -2 & -4 & -11\\ -5 & 1 & -14 \\ 5 & 2 & 16 }\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] = ... = [mm] \pmat{-2 & -2 & -11 \\ -5 & \bruch{1}{2} & -14 \\ 5 & 1 & 16} [/mm] = X
Fertig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Sa 05.01.2008 | | Autor: | haZee |
dankeschön...das muss ich mir jetzt erstmal durch den kopf gehen lassen. :)
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