Matrixdars. Umkehrabbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 So 29.11.2009 | | Autor: | divigolo |
| Aufgabe | [mm] Umkehrableitung:\alpha:\vecx´ [/mm] = A [mm] \vec [/mm] x + [mm] \vec [/mm] c mit A= [mm] \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{pmatrix} [/mm] ist
[mm] \alpha^-1 [/mm] : [mm] \vec [/mm] x´ = A^-1 [mm] \vec [/mm] x - A^-1 [mm] \vec [/mm] c mit A^-1 = [mm] \left( \bruch{1}{A} \right) \begin{pmatrix}
b_2 & -b_1 \\
-a_2 & a_1
\end{pmatrix}
[/mm]
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So inzwischen hat mir eine Freundin das hier geschickt.
So hat unser Lehrer das geschrieben.
Kann mir das einer erklähren? wieso ist da plötzlich dieses [mm] \alpha^-1 [/mm] : [mm] \vec [/mm] x´ ? und wie löst man denn so etwas? A^-1 = [mm] \left( \bruch{1}{A} \right) \begin{pmatrix}
b_2 & -b_1 \\
-a_2 & a_1
\end{pmatrix}
[/mm]
Kann vll. irgenteiner ein Beispiel mit beliebigen Zaheln machen und es mir erklähren?
Ich habe nämlich leider echt garkeine Ahnung was da genau gemacht wird , was ich danach raus bekomme und vor allem wie ich das anstellen soll... (denn ich habe krankheitsbedingt die letzten 6 stunden Mathe verpasst und schreibe dienstag die klausur :(. Da mein Lehrer in dieser Zeit nichtm it dem Buch gearbeitet hat finde ich auch keine beispiel oder übungsaufgaben)
PS: das mit den Vektorstrichen habe ich nicht ganz hinbekommen..ich hoffe ihr wisst dennoch was gemeint ist
Dankeschön : )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ja, das mit den Vektorstrichen ist nicht so gut. Schreibe \vec{x} und am besten um vor und hinter jede Formel noch ein Dollarzeichen, dann klappt das.
Nun, mit [mm] \alpha [/mm] wird die Abbildung bezeichnet. Dann kann man oft eine Umkehrabbildung angeben, die genau das umgekehrte macht. Also wie Quadrat und Wurzel z.B.
Solche Umkehrabbildungen bezeichnet man gerne mit nem hochgestellten -1, das ist aber keinesfalls eine Potenz, sondern einfach eine Schreibweise!
[mm] f(x)=x^2 [/mm] Umkehrfuntion: [mm] f^{-1}(x)=\sqrt(x)
[/mm]
Nun, der Witz bei einer 2D-Matrix ist, daß man die Umkehrmatrix schnell hinschreiben kann, die ist eben
$ [mm] \bruch{1}{D} \begin{pmatrix} b_2 & -b_1 \\ -a_2 & a_1 \end{pmatrix} [/mm] $
Dieses D (Ich hab es umbenannt, weil noch ein A verwirrt nur) ist die Determinante der (ursprünglichen) Matrix, es gilt
[mm] D=\sqrt{a_1b_2-a_2b_1}
[/mm]
Du kannst dich davon überzeugen: Wendest du auf einen Vektor erst eine Matrix und dann die Umkehrmatrix an, sollte ja wieder der Vektor selbst raus kommen, getreu dem Beispiel [mm] \sqrt{x^2}=x [/mm] (für positive x)
[mm] \underbrace{\underbrace{\pmat{ p & q \\ r & s }}_{A^{-1}}\underbrace{\pmat{ a & b \\ c & d }}_{A}}_{=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }}\vektor{x\\y}=\vektor{x\\y}
[/mm]
Also: Das Produkt der beiden Matrizen muß gleich der Einheitsmatrix sein, denn nur der bildet einen Vektor auf sich selbst ab.
Du kannst ja jetzt mal so tun, als wenn du a, b, c, d kennst, und dann p, q, r, s berechnen. Das ist ein wenig Arbeit, aber es wird eben das raus kommen, was du da eben geschrieben hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 30.11.2009 | | Autor: | divigolo |
Wunderbare Erklährung dankeschön! :)
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