Matrixdarstellung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mo 02.07.2007 | | Autor: | StayPuft |
| Aufgabe | Die Menge [mm] \IR^{(2,2)} [/mm] ist ein reeller Vektorraum mit der Basis
[mm] E_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, E_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, E_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, E_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Es sei
L [mm] :\begin{cases} \IR^{(2,2)} & \longrightarrow \IR^{(2,2)}\\ M & \longrightarrow A \cdot M + M^T \cdot A\end{cases}
[/mm]
die durch A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] bestimmte lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von L bezüglich der Basis [mm] \{E_i\}_{i=1,...,4} [/mm] in Urbild- und Bildraum. |
Moin erstmal,
also, wie man allgemein auf die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung kommt, weiß ich. Man bildet einfach die Basisvektoren ab und schreibt sie spaltenweise in eine Matrix. Aber wie funktioniert das hier, die Basisvektoren sind ja jetzt Matrizen?
Wenn man die Basis"vektoren" abbildet, erhält man diese Bilder:
[mm] L_{(E_1)} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 3 & 0 }, L_{(E_2)} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 5 }, L_{(E_3)} [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & 4 \\ 4 & 0 }, L_{(E_4)} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 3 & 8 }
[/mm]
Wie würde jetzt die Matrix aussehen? Wenn man die Bilder jetzt einfach hintereinander in eine Matrix schreibt, so wie man es mit Vektoren machen würde, würde die Dimension der Abbildungsmatrix und die der Elemente des [mm] \IR^{(2,2)} [/mm] nicht zusammen passen.
Sorry für diese ziemlich dämliche Frage 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Menge [mm]\IR^{(2,2)}[/mm] ist ein reeller Vektorraum mit der
> Basis
>
> [mm]E_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, E_2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, E_3[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, E_4[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Es sei
>
> L [mm]:\begin{cases} \IR^{(2,2)} & \longrightarrow \IR^{(2,2)}\\ M & \longrightarrow A \cdot M + M^T \cdot A\end{cases}[/mm]
>
> die durch A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] bestimmte lineare
> Abbildung. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von L
> bezüglich der Basis [mm]\{E_i\}_{i=1,...,4}[/mm] in Urbild- und
> Bildraum.
> Wenn man die Basis"vektoren" abbildet, erhält man diese
> Bilder:
>
> [mm]L_{(E_1)}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 3 & 0 }, L_{(E_2)}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 5 }, L_{(E_3)}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 5 & 4 \\ 4 & 0 }, L_{(E_4)}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ 3 & 8 }[/mm]
>
> Wie würde jetzt die Matrix aussehen? Wenn man die Bilder
> jetzt einfach hintereinander in eine Matrix schreibt, so
> wie man es mit Vektoren machen würde, würde die Dimension
> der Abbildungsmatrix und die der Elemente des [mm]\IR^{(2,2)}[/mm]
> nicht zusammen passen.
>
> Sorry für diese ziemlich dämliche Frage
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich finde Deine Frage überhaupt nicht dämlich, und Du bist unter Garantie nicht die erste Person, die sich das fragt.
Mit dem Bestimmen der Bilder der Basisvektoren hast Du gute Vorarbeit geleistet. (Nachgerechnet habe ich nicht.)
Sei [mm] E:=(E_1,E_2, E_3, E_4) [/mm]
Es ist
> [mm]L_{(E_1)}[/mm] = [mm][mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 3 & 0 }
[/mm]
[mm] =2*E_1 [/mm] + [mm] 2*E_2 [/mm] + [mm] 3*E_3 [/mm] + [mm] 0*E_4 =\vektor{2 \\ 2\\ 3\\0}_E,
[/mm]
und dies ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Die anderen Spalten bekommst Du nun selber hin.
Du erhältst eine 4x4-Matrix, nennen wir sie [mm] M_L.
[/mm]
Willst Du z.B. das Bild von [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] ausrechnen, geht das so:
Es ist [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }=1*E_1 [/mm] + [mm] 2*E_2 [/mm] + [mm] 3*E_3 [/mm] + [mm] 4*E_4=\vektor{1 \\ 2\\ 3\\4}_E,
[/mm]
und Du rechnest [mm] M_L\vektor{1 \\ 2\\ 3\\4}. [/mm] Heraus bekommst Du einen Spaltenvektor [mm] \vektor{a \\ b\\ c\\d} [/mm] mit 4 Komponenten, welcher der die Koordinaten bzgl E liefert:
[mm] M_L\vektor{1 \\ 2\\ 3\\4}=\vektor{a \\ b\\ c\\d}=a*E_1 [/mm] + [mm] b*E_2 +c*E_3 [/mm] + [mm] d*E_4=\pmat{ a & b \\ c & d }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 02.07.2007 | | Autor: | StayPuft |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Hat mir sehr geholfen
Stay Puft
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