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| Aufgabe | y'(t)=Ay(t), y(0)=a
[mm] A:=\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }, a:=\pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] |
Ich weiß das die Lösung der Differentialgleichung wiefolgt aussehen muss:
[mm] y(t)=e^{At}a
[/mm]
Jetzt möchte ich [mm] e^{At} [/mm] explizit bestimmen und bin dabei so vorgegangen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }+\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] e^{At}=\pmat{ e^t & 0 \\ 0 & e^{2t} }*\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 }=\pmat{ e^t & 3e^{t}t \\ 0 & e^{2t} }
[/mm]
Jetzt noch mit a multiplizieren:
[mm] e^{tA}a=\pmat{ 3e^{t}t \\ e^{2t}}
[/mm]
Kann ich so verfahren oder ist es nur mittels Jordanscher Normalform möglich?
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Hallo
du hast hier ja die Formel verwendet [mm] $e^{A+B}=e^{A}\cdot e^{B}$. [/mm] Diese gilt aber für allgemeine Matrizen nicht, sie gilt nur falls $AB=BA$, also $A$ und $B$ kommutieren.
Von daher muss im allgemeinen Fall über die Diagonalisierung gehen.
Viele Grüße
Blasco
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Tut mir Leid das ich mich erst jetzt melde. Wenn ich die Matrix A diagonalisieren möchte habe ich ein Problem. Im ersten Schritt muss man ja die Eigenwerte bestimmen, also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das Polynom [mm] \lambda^2-3\lambda+5=0 [/mm] besitzt jedoch keine reellen Nullstellen.
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Hallo Omikron123,
> Tut mir Leid das ich mich erst jetzt melde. Wenn ich die
> Matrix A diagonalisieren möchte habe ich ein Problem. Im
> ersten Schritt muss man ja die Eigenwerte bestimmen, also
> die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das
> Polynom [mm]\lambda^2-3\lambda+5=0[/mm]
Wie kommst du auf [mm]+5[/mm]?
Ich meine, das müsste [mm]+2[/mm] lauten ...
> besitzt jedoch keine reellen
> Nullstellen.
Das m.E. korrekte char. Polynom wohl ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
außerdem ist [mm]A[/mm] doch eine Dreiecksmatrix, da stehen die Eigenwerte schon auf der Hauptdiagonalen, die kannst du also ablesen ...
Gruß
schachuzipus
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Ja natürlich +2, habe mich verrechnet. Die Jordansche Normalform schaut ja dann so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Wie muss ich jetzt weitermachen um am Schluss [mm] e^{At} [/mm] zu erhalten?
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Hallo nochmal,
> Ja natürlich +2, habe mich verrechnet. Die Jordansche
> Normalform
bzw. die Diagonalmatrix
> schaut ja dann so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 2 }[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt weitermachen um am Schluss [mm]e^{At}[/mm] zu
> erhalten?
Du musst die Transformationsmatrix [mm]T[/mm] und deren Inverse bestimmen, die dir [mm]A[/mm] in die obige Diagonalmatrix bringt.
Dazu bestimme zu den Eigenwerten Eigenvektoren und packe sie als Spalten in die Matrix [mm]T[/mm]
Dann ist [mm]T^{-1}AT=D[/mm] die obige Diagonalmatrix.
Damit also [mm]A=TDT^{-1}[/mm]
Und [mm]e^{A}=e^{TDT^{-1}}=...[/mm]
Das ist dann leicht zu berechnen ...
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Antwort. T ist bei mir [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] T^{-1}=\pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] TAT^{-1}=\pmat{ 1 & 6 \\ 0 & 2 }
[/mm]
[mm] TDT^{-1}=\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }=A
[/mm]
Bei [mm] e^{At} [/mm] bin ich mir aber immer noch unsicher.
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Hallo nochmal,
> Danke für deine Antwort. T ist bei mir [mm]\pmat{ 1 & 3 \\
0 & 1 }[/mm]
> und [mm]T^{-1}=\pmat{ 1 & -3 \\
0 & 1 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]TAT^{-1}=\pmat{ 1 & 6 \\
0 & 2 }[/mm]
Das brauchst du nicht!
>
> [mm]TDT^{-1}=\pmat{ 1 & 3 \\
0 & 2 }=A[/mm]
Ja, das muss ja so sein!
>
> Bei [mm]e^{At}[/mm] bin ich mir aber immer noch unsicher.
Nun, es ist [mm]e^{At}=e^{TDT^{-1}t}=T\cdot{}e^{Dt}\cdot{}T^{-1}[/mm]
Und das Matrixexponential einer Diagonalmatrix ist leicht hingeschrieben.
Schaue mal im Skript nach, was dazu steht!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Fr 26.08.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Danke, jetzt kenne ich mich aus.
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