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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende zwei Matrizen:
$ A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \quad \quad [/mm] B = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] $
(a) Berechne $AB$ und $BA$.
(b) Berechne [mm] $e^{A+B}$ [/mm] und [mm] $e^{A}e^{B}$.
[/mm]
Hinweis: Die Exponentialabbildung kann für alle drei Matrizen über die Exponentialreihe berechnet werden. |
Ja, also der erste Aufgabenteil ist ja so wie ich das sehe nur eine normale Multiplikation, die man mit dem Falk-Schema durchführen kann.
Dabei kommt bei mir heraus:
$ AB = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $ und $ BA = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
So beim zweiten Teil komme ich nun nicht wirklich weiter, weil ich nicht weiß wie man beispielsweise [mm] $e^{A}$ [/mm] überhaupt berechnet.
Ich habe viel nachgeguckt, aber hab leider keine Beispiele gefunden. Ich weiß nur, dass es so ähnlich gehen soll, wie bei normalen Exponentialfunktionen mit Zahlen, so dass das Ergebnis quasi eine unendlich lange Reihe ist.
Aber wie ich das anwende, weiß ich leider überhaupt nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo ggT!
> Gegeben sind folgende zwei Matrizen:
>
> [mm]A = \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \quad \quad B = \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> (a) Berechne [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm].
>
> (b) Berechne [mm]e^{A+B}[/mm] und [mm]e^{A}e^{B}[/mm].
>
> Hinweis: Die Exponentialabbildung kann für alle drei
> Matrizen über die Exponentialreihe berechnet werden.
> Ja, also der erste Aufgabenteil ist ja so wie ich das sehe
> nur eine normale Multiplikation, die man mit dem
> Falk-Schema durchführen kann.
>
> Dabei kommt bei mir heraus:
>
> [mm]AB = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] und [mm]BA = \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So beim zweiten Teil komme ich nun nicht wirklich weiter,
> weil ich nicht weiß wie man beispielsweise [mm]e^{A}[/mm]
> überhaupt berechnet.
> Ich habe viel nachgeguckt, aber hab leider keine Beispiele
> gefunden. Ich weiß nur, dass es so ähnlich gehen soll,
> wie bei normalen Exponentialfunktionen mit Zahlen, so dass
> das Ergebnis quasi eine unendlich lange Reihe ist.
> Aber wie ich das anwende, weiß ich leider überhaupt
> nicht.
Die Exponentialreihe lautet doch [mm] $\mathrm{e}^x=\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} x^k$.
[/mm]
Für $x$ sollen nun nacheinander die drei Matrizen $A+B$, $A$ und $B$ eingestzt werden. Für z.B. $A$ erhältst du
[mm] $\mathrm{e}^A=\exp(A)=\sum_{k=0}^\infty \frac1{k!} A^k=\ldots$
[/mm]
Um das weiter vereinfachen zu können, musst du also zunächst alle Potenzen von $A$ ermitteln, also [mm] $A^k=\ldots$ [/mm] (ist nicht so schwierig, wie es aussieht  ) und dann einsetzen und vereinfachen.
Probier' das mal und melde dich mit deinen Ergebnissen.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ah stimmt, glaub hab jetzt auf jeden Fall eine Ahnung wie ich weitermachen muss. Gehe nun aber erstmal schlafen. Gute Nacht. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
[mm] $e^{A} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} A^{k} [/mm] = [mm] A^{0} [/mm] + [mm] A^{1} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}A^{2} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}A^{3} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}A^{4} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{120}A^{5} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{720}A^{6} [/mm] + [mm] ...$\\
[/mm]
So die Berechnung der Matrizen hat bei mir folgendes ergeben: [mm] \\
[/mm]
[mm] $A^{0} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ (Einheitsmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $A^{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ (Startmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $A^{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
Alle weiteren Matrizen sind ebenfalls wie [mm] $A^{2}$. \\
[/mm]
Das ergibt nun in der Berechnung: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{2} [/mm] + [mm] \dfrac{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{6} [/mm] + [mm] \dfrac{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{24} [/mm] + ...$ [mm] \\
[/mm]
Wie gehts da nun weiter? Kann ich die 0er Matrizen unberücksichtigt lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo ggT,
> [mm]e^{A} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} A^{k} = A^{0} + A^{1} + \dfrac{1}{2}A^{2} + \dfrac{1}{6}A^{3} + \dfrac{1}{24}A^{4} + \dfrac{1}{120}A^{5} + \dfrac{1}{720}A^{6} + ...[/mm][mm] \\[/mm]
>
> So die Berechnung der Matrizen hat bei mir folgendes
> ergeben: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]A^{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> (Einheitsmatrix) [mm]\\[/mm]
>
> [mm]A^{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> (Startmatrix) [mm]\\[/mm]
>
> [mm]A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> Alle weiteren Matrizen sind ebenfalls wie [mm]A^{2}[/mm]. [mm]\\[/mm]
> Das ergibt nun in der Berechnung: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \dfrac{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{2} + \dfrac{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{6} + \dfrac{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{24} + ...[/mm]
> [mm]\\[/mm]
Es ist unüblich, Matrizen auf Bruchstriche zu setzen, schreibe lieber z.B. [mm] $\frac12\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
> Wie gehts da nun weiter? Kann ich die 0er Matrizen
> unberücksichtigt lassen?
Klar, wieso sollte das nicht so sein? Die Matrizenaddition ist ja "eintragsweise" definiert, dann sieht man das ja recht schnell.
Jetzt dieselbe Rechnung für die beiden anderen Matrizen ausführen und vergleichen.
Viele Grüße
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
[mm] $e^{A} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} A^{k} [/mm] = [mm] A^{0} [/mm] + [mm] A^{1} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}A^{2} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}A^{3} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}A^{4} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{120}A^{5} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{720}A^{6} [/mm] + [mm] ...$\\
[/mm]
So die Berechnung der Matrizen hat bei mir folgendes ergeben: [mm] \\
[/mm]
[mm] $A^{0} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ (Einheitsmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $A^{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ (Startmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $A^{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
Alle weiteren Matrizen sind ebenfalls wie [mm] $A^{2}$. \\
[/mm]
Das ergibt nun in der Berechnung: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + ... = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\ \\ [/mm]
-------------------------------------------------------- [mm] \\
[/mm]
% JETZT KOMMT DIE NÄCHSTE MATRIX %
[mm] $e^{B} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} B^{k} [/mm] = [mm] B^{0} [/mm] + [mm] B^{1} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}B^{2} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}B^{3} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}B^{4} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{120}B^{5} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{720}B^{6} [/mm] + [mm] ...$\\
[/mm]
So die Berechnung der Matrizen hat bei mir folgendes ergeben: [mm] \\
[/mm]
[mm] $B^{0} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ (Einheitsmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $B^{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ (Startmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $B^{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
Alle weiteren Matrizen sind ebenfalls wie [mm] $B^{2}$. \\
[/mm]
Das ergibt nun in der Berechnung: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + ... = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
-------------------------------------------------------- [mm] \\
[/mm]
[mm] $e^{A}e^{B} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
-------------------------------------------------------- [mm] \\
[/mm]
% JETZT KOMMT DIE NÄCHSTE MATRIX %
[mm] $e^{A+B} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} (A+B)^{k} [/mm] = [mm] (A+B)^{0} [/mm] + [mm] (A+B)^{1} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}(A+B)^{2} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}(A+B)^{3} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}(A+B)^{4} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{120}(A+B)^{5} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{720}(A+B)^{6} [/mm] + [mm] ...$\\
[/mm]
So die Berechnung der Matrizen hat bei mir folgendes ergeben: [mm] \\
[/mm]
[mm] $(A+B)^{0} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ (Einheitsmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $(A+B)^{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ (Startmatrix) [mm] \\
[/mm]
[mm] $(A+B)^{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
[mm] $(A+B)^{3} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $ [mm] \\
[/mm]
Die letzten beiden Matrizen alternieren ab jetzt. [mm] \\
[/mm]
Das ergibt nun in der Berechnung: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] + ... = [mm] \; [/mm] ??? $ [mm] \\
[/mm]
Ja, ist das oben soweit richtig? Und wie berechne ich das unten nun, da es ja eine unendliche Reihe ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Di 12.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ja also links oben im Eintrag würde dann ja stehen: [mm] \\
[/mm]
$1 + [mm] \dfrac{1}{2} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{720} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{40320} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{3628800} [/mm] + ... [mm] \approx [/mm] 1,54308$ [mm] \\
[/mm]
Aber wäre das ok, wäre ja dann einfach mit Taschenrechner quasi durchgerechnet, kann mir kaum vorstellen, dass das der Sinn ist, oder, besonders da man ja nur endlich viele Werte aufaddiert?
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> Ja also links oben im Eintrag würde dann ja stehen: [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{720} + \dfrac{1}{40320} + \dfrac{1}{3628800} + ... \approx 1,54308[/mm]
> [mm]\\
[/mm]
Hallo,
anders aufgeschrieben steht dort 1 + [mm] \dfrac{1}{2!} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{4!} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6!} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{8!} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{10!} [/mm] + ...
Marc hatte Dir doch den Hinweis gegeben, daß das eine bekannte Reihe ist.
Hast Du im Hinblick darauf mal ein bißchen gesucht? Nein. Mach das mal!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Di 12.06.2012 | | Autor: | ggT |
Hm, konnte bisher keine bekannte finden.
Die bekanntesten sind für mich arithmetische und geometrische Reihe.
Reihen mit Fakultäten sind mir bisher nicht wirklich bekannt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Di 12.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hm, konnte bisher keine bekannte finden.
> Die bekanntesten sind für mich arithmetische und
> geometrische Reihe.
> Reihen mit Fakultäten sind mir bisher nicht wirklich
> bekannt.
Tipp: Cosinushyperbolicus
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 12.06.2012 | | Autor: | ggT |
Oh, ja mit diesen Reihen hatte ich mich noch nie groß beschäftigt, aber hat mir definitiv weitergeholfen.
Habe als Ergebnis somit raus:
[mm] e^{A+B} [/mm] = [mm] \pmat{ cosh(1) & sinh(1) \\ sinh(1) & cosh(1) }
[/mm]
Ist das dann ok?
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Hallo ggT,
> Oh, ja mit diesen Reihen hatte ich mich noch nie groß
> beschäftigt, aber hat mir definitiv weitergeholfen.
>
> Habe als Ergebnis somit raus:
>
> [mm]e^{A+B}[/mm] = [mm]\pmat{ cosh(1) & sinh(1) \\ sinh(1) & cosh(1) }[/mm]
>
> Ist das dann ok?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Di 12.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ja, der Tipp war sehr hilfreich, glaub da wäre ich sonst nie drauf gekommen. Besonders da ich gedanklich noch halb bei Folgen hing und nicht bei Reihen.
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