Matrixnorm Abschätzung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mi 06.02.2008 | | Autor: | steffenk |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrixnorm [mm] \parallel*\parallel [/mm] und [mm] A,B\in \IR^{nxn}. [/mm] Die Matrix A sei regulär. Beweisen sie die folgende Aussage:
[mm] \parallel BA-I\parallel \le k(A)\parallel AB-I\parallel [/mm] , wobei k(a) die Kondition bzgl. der Matrixnorm [mm] \parallel*\parallel [/mm] ist. |
Hallo,
habe diese Aufgabe schonmal gelöst. Leider stehe ich gerade damit auf dem Kriegsfuss und habe keinerlei Idee wie ich das gemacht hatte.
Wäre schon für einen kleinen Tipp sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Fr 08.02.2008 | | Autor: | steffenk |
*nochmal schiebt*
Vielleicht kann ja doch noch jmd. helfen.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:19 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
ich habe etwas drüber nachgegrübelt, und habe jetzt eine Frage dazu.
Da A regulär ist muss doch [mm] A^{-1} [/mm] existieren. Man kann also [mm] B=A^{-1} [/mm] setzen.
Dann wird :
[mm] \parallel BA-I\parallel \le k(A)\le \parallel AB-I\parallel
[/mm]
zu
[mm] \parallel A^{-1}A-I\parallel =\parallel I-I\parallel =\parallel 0\parallel \le k(A)\le \parallel 0\parallel =\parallel I-I\parallel =\parallel AA^{-1}-I\parallel
[/mm]
Also k(A)=0 ?
Ciao.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:43 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Zneques |
hmm, ich sollte wohl nicht überall direkt fehler vermuten. Das [mm] \le [/mm] fehlte dort scheinbar weil es da gar nicht hingehörte.
Also:
[mm] \parallel AB-I\parallel =\parallel AB-I\parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel A^{-1}(AB-I)\parallel \le\parallel AB-I\parallel \parallel A^{-1}\parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel B-A^{-1}\parallel \le\parallel AB-I\parallel \parallel A^{-1}\parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel (B-A^{-1})A\parallel \le\parallel AB-I\parallel \parallel A^{-1}\parallel \parallel A\parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel BA-I\parallel \le\parallel AB-I\parallel \parallel {A^{-1}\parallel \parallel A\parallel =k(A)* \parallel AB-I\parallel}
[/mm]
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 So 10.02.2008 | | Autor: | steffenk |
Geschafft!
Danke für die Hilfe.
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