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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die zur Maximumsnorm gehöhrende Matrixnorm durch das Maximum der Zeilensummen gegeben ist:
[mm] ||A||_{\infty} [/mm] = [mm] \max_{i=1,...,m}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}| [/mm] |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo da!
Ich brauche 'ne bißchen Hilfe ;) Ich habe ein paar Aufgaben mit verschiedene Matrixnormen berechnet...Jetzt aber gibt´s nichtz zum Berechnen sonder zum Beweisen.
Ich werde die Zeilensummen- und Maximumsnorm so zu sagen "beschreiben".
Da haben wir ein Matrix [mm] A:=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }.
[/mm]
Wenn ich's richtig verstanden habe, sind sehen die Ergebnisse für die beide Normen so aus:
Maximumsnorm:
[mm] ||A||_{\infty} [/mm] = [mm] max{|a_{11}| , |a_{12}| , |a_{21}| , |a_{22}|}, [/mm] wobei wir einer diese Werte [mm] a_{11}, a_{12}, a_{21} [/mm] oder [mm] a_{22} [/mm] für Maximum haben.
Zeilensummennorm:
[mm] ||A||_{\infty} [/mm] = [mm] max{|a_{11}| + |a_{12}| , |a_{21}| + |a_{22}|}, [/mm] wobei wir einer diese Werte der Zeilensummen für Maximum haben.
Na, jetzt ist kommen zwei Fragen:
1.Was bedeutet "zur Maximumsnorm gehörende Matrixnorm"?
2.Was ist der Zusammenhang zwischen Matrixnorm und seine Maximumsnorm und Maximum der Zeilensummen (also Zeilensummennorm)?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
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> Zeigen Sie, dass die zur Maximumsnorm gehöhrende Matrixnorm
> durch das Maximum der Zeilensummen gegeben ist:
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> [mm]||A||_{\infty}[/mm] = [mm]\max_{i=1,...,m}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|[/mm]
>
> Ich werde die Zeilensummen- und Maximumsnorm so zu sagen
> "beschreiben".
Hallo,
beachte: die Zeilensummennorm ist eine Norm für Matrizen, die Maximumsnorm ist eine Norm für Spaltenvektoren.
> 1.Was bedeutet "zur Maximumsnorm gehörende Matrixnorm"?
> 2.Was ist der Zusammenhang zwischen Matrixnorm und seine
> Maximumsnorm und Maximum der Zeilensummen (also
> Zeilensummennorm)?
Es bedeutet, daß die Zeilensummennorm die wie folgt von der Maximumnorm induzierte Matrixnorm ist:
[mm] \|A\|_{\infty} [/mm] = [mm] \sup_{x\not = 0}\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}} [/mm] = [mm] \sup_{\|x\|_{\infty} = 1}\|Ax\|_{\infty}.
[/mm]
Beachte, daß auf der rechten Seite nur die Vektornorm vorkommt.
Deine Aufgabe ist es nun, vorzurechnen, daß Du, wenn Du die rechte Seite, also [mm] \sup_{x\not = 0}\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}} [/mm] oder [mm] \sup_{\|x\|_{\infty} = 1}\|Ax\|_{\infty} [/mm] berechnest, gerade die maximale Zeilensumme herauskommt.
> Da haben wir ein Matrix [mm]A:=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }.[/mm]
>
> Wenn ich's richtig verstanden habe, sind sehen die
> Ergebnisse für die beide Normen so aus:
>
> Maximumsnorm:
Wie oben gesagt: die Maximumsnorm ist für Vektoren, nicht für Matrizen.
> Zeilensummennorm:
> [mm]||A||_{\infty}[/mm] = [mm]max{|a_{11}| + |a_{12}| , |a_{21}| + |a_{22}|},[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
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Tja, dass mit der [mm] \sup_{||x||_{\infty}=1}||Ax||_{\infty} [/mm] ist es mir nicht klar... Es ist 'ne blöde Frage vielleicht, aber wie berechnet man das?
Danke im Voraus!
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Na, jetzt habe ich das folgende gelesen:
Es sei A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -3 & 4 }.
[/mm]
Die zur Maximumsnorm gehörende Operatornorm lässt sich ebenfalls einfach berechnen als
[mm] ||A||_{\infty} [/mm] = [mm] \max_{i=1,...,n}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|
[/mm]
Für die obige Matrix ergibt sich daher der Wert [mm] ||A||_{\infty} [/mm] = 7.
???
Vielen Dank für die Erklärung im Voraus ;)
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> Na, jetzt habe ich das folgende gelesen:
>
> Es sei A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ -3 & 4 }.[/mm]
> Die zur Maximumsnorm
> gehörende Operatornorm lässt sich ebenfalls einfach
> berechnen als
> [mm]||A||_{\infty}[/mm] = [mm]\max_{i=1,...,n}\summe_{j=1}^{n}|a_{ij}|[/mm]
>
> Für die obige Matrix ergibt sich daher der Wert
> [mm]||A||_{\infty}[/mm] = 7.
>
> ???
Hallo,
???
Hatte ich Dir das nicht neulich erklärt?
Die Matrixnorm [mm] \parallel\*\parallel_\infty [/mm] ist eben die Zeilensummennorm.
Man schaut sich |1|+|2|=3 und |-3|+|4|=7 an und stellt fest: die größte Zeilensumme ist 7.
Also ist [mm] \parallel\A\parallel_\infty=7.
[/mm]
Die eingangs präsentierte Aufgabenstellung ist aber anders.
Du sollst zeigen, daß die durch die Maximumsnorm induzierte Norm gerade die Zeilensummennorm ist.
Gruß v. Angela
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> Tja, dass mit der [mm]\sup_{||x||_{\infty}=1}||Ax||_{\infty}[/mm]
> ist es mir nicht klar... Es ist 'ne blöde Frage vielleicht,
> aber wie berechnet man das?
Naja, so blöd ist die Frage nicht, da haben sich auch schon andere den Kopf drüber zerbrochen.
Ich fahre in solchen Fällen die Strategie, mir die Aufgabe erstmal so zu machen, daß sie etwas weniger allgemein ist.
In diesem Fall würde ich die Sache erstmal für 2x2-Matrizen durchrechnen statt für mxm-Matrizen.
Sei also [mm] A:=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} },
[/mm]
[mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2}.
[/mm]
Nun braucht man sämtliche Vektoren x mit [mm] ||x||_{\infty}=1.
[/mm]
Welche sind das denn? Wie sehen die Vektoren aus, für die [mm] ||\vektor{x_1 \\ x_2}||_{\infty}=1 [/mm] ist?
Für diese Vektoren berechnet man dann Ax und schätzt die Norm dieses Vektors nach oben ab.
Dann zeigt man, daß dieser Oberwert tatsächlich angenommen wird.
Wenn Du das für m=2 durchgeführt hast, ist es für allgemeines m nicht mehr so schwer.
Gruß v. Angela
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Na ja, das mit der Max.norm hab ich gefragt, weil diese Gleichung sehr verwiehrend für mich aussieht. Sonst weiß ich, wie man diese Zeilen-/Spaltensummen- und Maximumnorm für ein Matrix berechnet.
Na ja, wenn [mm] ||\vektor{x_{1} \\ x_{2}}||_{\infty} [/mm] = 1 ist, dann wenn man diese Gleichung betrachtet:
[mm] ||x||_{\infty} [/mm] = [mm] \max_{i=1}^n|x_{i}|, [/mm] gilt das foglende:
[mm] max{|x_{1}|,|x_{2}|} [/mm] = 1, d.h, dass entweder [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] = 1 sind, oder das die beide =1 sind (dann sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] der Maximum des Vektors). Also haben wir 3 Fälle.
Für jeden Fall muss ich also
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}.\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] berechnen - einmal mit [mm] x_{1} [/mm] = 1, einmal mit [mm] x_{2} [/mm] = 1 und einmal mit beide = 1. Richtig?
Aber das mit der Schätzung ist mir nicht ganz klar geworden... :( Soll ich
[mm] \sup_{||x||_{\infty}=1}||Ax||_{\infty} [/mm] benutzen und wie? Ich habe gelesen, dass man diese SUP mit MAX ersetzen kann... Ist das die Gesamtnorm?
PS: Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
stell Deine Rückfragen als Fragen und nicht als Mitteilungen.
Dann wirst Du nämlich von allen als "hilfsbedürftige Person" erkannst.
> Na ja, wenn [mm]||\vektor{x_{1} \\ x_{2}}||_{\infty}[/mm] = 1 ist,
> dann wenn man diese Gleichung betrachtet:
>
> [mm]||x||_{\infty}[/mm] = [mm]\max_{i=1}^n|x_{i}|,[/mm] gilt das foglende:
>
> [mm]max{|x_{1}|,|x_{2}|}[/mm] = 1, d.h, dass entweder [mm]x_{1}[/mm] oder
> [mm]x_{2}[/mm] = 1 sind, oder das die beide =1 sind (dann sind [mm]x_{1}[/mm]
> und [mm]x_{2}[/mm] der Maximum des Vektors). Also haben wir 3
> Fälle.
Ein paar mehr Fälle, wenn Du noch etwas genauer nachdenkst, denn die [mm] x_i [/mm] können ja auch negativ sein.
Wesentlich ist, daß immer eins dabei ist, dessen Betrag =1 ist, und daß die Beträge der anderen Komponenten [mm] \le [/mm] 1 sind.
> Für jeden Fall muss ich also
> [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}.\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
> berechnen - einmal mit [mm]x_{1}[/mm] = 1, einmal mit [mm]x_{2}[/mm] = 1 und
> einmal mit beide = 1. Richtig?
Berechne erstmal Ax, das gibt einen Vektor mit 2 Einträgen.
Die Maximumsnorm davon ist ja [mm] max\{|Eintrag 1|, |Eintrag 2|\}.
[/mm]
Soweit kannst Du ja erstmal machen, vielleicht fällt Dir dann schon etwas zur Abschätzung ein. Tip: Dreiecksungleichung und berücksichtigen, daß kein Betrag [mm] x_i [/mm] größer als 1 ist.
> Ich habe gelesen, dass man diese SUP mit MAX ersetzen
> kann... Ist das die Gesamtnorm?
Daß sup durch max ersetzt werden kann, hängt damit zusammen, daß der Wert des Supremums tatsächlich angenommen wird.
Aber erstmal haben wir's ja sowieso mit der Maximumsnorm zu tun.
Gruß v. Angela
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Danke. Ich glaube es hat's geklappt ;)
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