Matrizen- Teilraum,Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mo 25.05.2009 | | Autor: | so_magic |
| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen
V:={A Element [mm] \IR^2,2 [/mm] | A ist eine obere Dreiecksmatrix} und
[mm] B:={\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -2 }}.
[/mm]
1. Zeigen Sie,dass V ein Teilraum des [mm] \IR^2,2 [/mm] ist.
2. Zeigen Sie,dass B eine Basis von V ist.
3. Bestimmen Sie den Koordinatenvektor b [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 5 } [/mm] des
Vektors [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 5 } [/mm] Element V bzgl. der Basis B. |
Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Nummer 2 und 3 (Vorgehensweise).Ich gehe davon aus,dass ich die 1. richtig gelöst habe.
Danke :)
lg magic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 25.05.2009 | | Autor: | so_magic |
P.s. Als erstes stell ich mir die Frage,wie ich prüfe,ob B eine Basis von V ist ??!!!
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Hallo so_magic,
> P.s. Als erstes stell ich mir die Frage,wie ich prüfe,ob B
> eine Basis von V ist ??!!!
Na, wie man das so üblicherweise macht.
Prüfe erstens, ob die Vektoren (Matrizen) in B ein Erzeugendensystem sind.
Dazu nimm dir eine bel. obere [mm] \triangle-Matrix $\pmat{a&b\\0&c}$ [/mm] her und prüfe, ob sie sich als LK der angeblichen Basisvektoren darstellen lässt ...
Dann prüfe, ob die Matrizen in B linear unabh. sind, setze dazu die LK [mm] $\lambda\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}+\mu\cdot{}\pmat{0&2\\0&1}+\nu\cdot{}\pmat{1&0\\0&-2}=\pmat{0&0\\0&0}$ [/mm] an und prüfe die übliche Bedingung an die Koeffizienten nach ...
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Gegeben sind die Mengen
> [mm] $V:=\{A\in\IR^{2\times 2}\mid A \ \text{ist eine obere Dreiecksmatrix}\}$ [/mm]
> und
> [mm] $B:=\left\{\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -2 }\right\}$
[/mm]
>
> 1. Zeigen Sie,dass V ein Teilraum des [mm] $\IR^{2\times 2}$ [/mm] ist.
> 2. Zeigen Sie,dass B eine Basis von V ist.
> 3. Bestimmen Sie den Koordinatenvektor b [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 5 }[/mm]
> des
> Vektors [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 5 }[/mm] Element V bzgl. der
> Basis B.
> Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Nummer 2 und 3
> (Vorgehensweise).Ich gehe davon aus,dass ich die 1. richtig
> gelöst habe.
> Danke :)
> lg magic
2. siehe unten, zu 3:
nachrechnen!
LK ansetzen: [mm] $b_1\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}+b_2\cdot{}\pmat{0&2\\0&1}+b_3\cdot{}\pmat{1&0\\0&-2}=\pmat{3&-1\\0&5}$
[/mm]
Ausrechnen und die Koeffizienten [mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] als Spalte in den Vektor [mm] $\vec{b}=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}$ [/mm] packen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Di 26.05.2009 | | Autor: | so_magic |
Guten abend,
im großen und ganzen hast du beide aufgaben schön beschrieben,aber kannst du mir bitte erklären,wie ich die linearkombinationen mit den matrizen in 2. und 3. lösen muss? ich kenn nur die rechnung mit vektoren,deswegen komme ich bei den beiden LK in der 2. aufgabe und auch bei der in der 3. nicht weiter...
ich würd zum bsp. die LK in der 3. aufgabe ausrechnen und würde auf
[mm] \pmat{ b_{3} & 2b_{2} \\ 0 & b_{1}+b_{2}-2b_{3} }=\pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 5 }
[/mm]
die LK in der 2. aufgabe habe ich auch so gerechnet,aber kann das überhaupt richtig sein?? ich weiß nämlich nicht weiter..
hättest du vielleicht ein bsp parat mit dem selben format??
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Hallo nochmal,
> Guten abend,
>
> im großen und ganzen hast du beide aufgaben schön
> beschrieben,
Danke 
> aber kannst du mir bitte erklären,wie ich die
> linearkombinationen mit den matrizen in 2. und 3. lösen
> muss? ich kenn nur die rechnung mit vektoren,deswegen komme
> ich bei den beiden LK in der 2. aufgabe und auch bei der in
> der 3. nicht weiter...
Naja, Matrizen sind ja gleich, wenn sie in jedem Eintrag übereinstimmen.
Die LK in (3) zB. ist (ich kopiere):
$ [mm] b_1\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}+b_2\cdot{}\pmat{0&2\\0&1}+b_3\cdot{}\pmat{1&0\\0&-2}=\pmat{3&-1\\0&5} [/mm] $
Die [mm] $b_i$ [/mm] kannst du in die Matrizen reinziehen:
also: $ [mm] \pmat{0&0\\0&b_1}+\pmat{0&2b_2\\0&b_2}+\pmat{b_3&0\\0&-2b_3}=\pmat{3&-1\\0&5} [/mm] $
Matrizenaddition geht komponentenweise, also
[mm] $\pmat{b_3&2b_2\\0&b_1+b_2-2b_3}=\pmat{3&-1\\0&5} [/mm] $
Nun eintragweise vergleichen ...
bei (2) genauso
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 27.05.2009 | | Autor: | so_magic |
aahaaa,okay,dann war ich ja doch auf dem richtigen weg.
also hab ich jetzt für b1= 19/2 , b2= 3/2 und b3=3 raus!??
und bei der LK in der nr.2 hab ich gezeigt,dass die koeffizienten alle gleich 0 sind und somit die bedingung erfüllen(basis).
aber die eine frage,auf die du in deiner letzten nachricht nicht eingegangen bist,musst du mir doch noch beantworten..also wie ich zeige,dass es ein erzeugendensystem ist??
danke dir sehr für deine hilfe!!
lg
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Hallo nochmal,
schnell schnell, gleich kommt Fussball
> aahaaa,okay,dann war ich ja doch auf dem richtigen weg.
> also hab ich jetzt für b1= 19/2 , b2= 3/2 und b3=3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Huch? [mm] $b_3=3$ [/mm] stimmt ja, aber was ist bei [mm] $b_2$ [/mm] passiert?
Da steht doch (wenn man die Einträge in der 1.Zeile, 2.Spalte vergleicht): [mm] $2b_2=-1$, [/mm] also [mm] $b_2=-\frac{1}{2}$ [/mm] ...
Damit nochmal [mm] $b_1$ [/mm] nachrechnen ...
> raus!??
> und bei der LK in der nr.2 hab ich gezeigt,dass die
> koeffizienten alle gleich 0 sind und somit die bedingung
> erfüllen(basis).
>
> aber die eine frage,auf die du in deiner letzten nachricht
> nicht eingegangen bist,
Dafür aber in der allerersten.
Ich sagte, dass du dir eine beliebige obere Dreiecksmatrix hernehmen solltest, also etwa [mm] $A=\pmat{a&b\\0&c}$ [/mm] und nachprüfen solltest, dass diese sich als LK der vermeintlichen Basismatrizen (-vektoren) darstellen lässt.
Dazu setzt du dieselbe LK an, wie bei der speziellen Matrix in (3), es werden sich aber für die Koeffizienten dieser LK Abhängigkeiten von den Matrixeinträgen $a,b,c$ ergeben ..
> musst du mir doch noch
> beantworten..also wie ich zeige,dass es ein
> erzeugendensystem ist??
s. Bem. ein paar Zeilen oberhalb
>
> danke dir sehr für deine hilfe!!
Gerne
> lg
Ebenso
Bis dann
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 27.05.2009 | | Autor: | so_magic |
huuuch, hatte mich verschrieben..klar,hast recht (b2=-1/2 ; b1= -10/3)!!!
zu 2.: a=3
b=-1/2
c löst sich auf ... richtig? und was hat das dann zu bedeuten? :D
kannst mir ruhig morgen antworten,
viel spaß beim fussball gucken ;)
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Hallo nochmal,
ha, schon ein Tor gefallen!
> huuuch, hatte mich verschrieben..klar,hast recht (b2=-1/2 ;
> b1= -10/3)!!!
Oh wei ..
Rechne mal vor(!), wie du auf [mm] $b_1$ [/mm] kommst, ich erhalte da was ganz anderes ...
>
> zu 2.: a=3
> b=-1/2
> c löst sich auf ... richtig? und was hat das
> dann zu bedeuten? :D
Keine Ahnung, wovon du redest.
Die zu betrachtende LK ist doch [mm] $\lambda\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}+\mu\cdot{}\pmat{0&2\\0&1}+\nu\cdot{}\pmat{1&0\\0&-2}=\pmat{a&b\\0&c}$
[/mm]
Hier gilt es nun, durch Vergleichen der Einträge nach [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] aufzulösen, also [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] in Abh. von $a,b,c$ auszudrücken.
Wenn das eindeutig klappt, so kannst du jede obere DreieckSmatrix als LK dieser 3 Basismatrizen ausdrücken, denn [mm] $\pmat{a&b\\0&c}$ [/mm] war ja beliebig gewählt.
Also rechne nochmal in Ruhe nach, ob das klappt und dann bei Rückfragen konkret vor, damit man genauer sehen kann, ob und wenn ja, wo es noch klemmt, wenn es denn noch klemmt.
>
> kannst mir ruhig morgen antworten,
> viel spaß beim fussball gucken ;)
Danke, ist ein recht munteres Spielchen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 27.05.2009 | | Autor: | so_magic |
aaahhhh :D sorry,meine konzentration lässt wohl nach...b1= 23/2 ??
und bei der LK hatte ich was anderes. jetzt komme ich auf:
[mm] \nu= [/mm] a
[mm] \mu= [/mm] b/2
[mm] \lambda= [/mm] c- b/2 + 2a
und was sagt mir das jetzt bzgl. dem erzeugendensystem? :D
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Hallo nochmal,
> aaahhhh :D sorry,meine konzentration lässt wohl nach...b1=
> 23/2 ??
jo
>
> und bei der LK hatte ich was anderes. jetzt komme ich auf:
>
> [mm]\nu=[/mm] a
> [mm]\mu=[/mm] b/2
> [mm]\lambda=[/mm] c- b/2 + 2a
Das habe ich nicht nachgerechnet, sieht aber gut aus
>
> und was sagt mir das jetzt bzgl. dem erzeugendensystem? :D
Na, es ist eines!
Du hast dir ja ne beliebige Dreiecksmatrix [mm] $\pmat{a&b\\0&c}$ [/mm] vorgegeben und kannst sie als LK der 3 (vermeindlichen) Basismatrizen darstellen.
Die Koeffizienten lassen sich in Abh. der Matrixeinträge ausdrückeb.
Du kannst ja mal prüfen, ob das auch für deine spezielle Matrix aus (3) passt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 27.05.2009 | | Autor: | so_magic |
hmmm...
ist V eine matrix aus [mm] R^3??
[/mm]
dann könnte ich da einfach sagen,dass die vektoren in B linear unabhängige vektoren des [mm] R^3,da [/mm] 3, sind und somit die bedingung für eine basis (3 lin.unabhängige vektoren (des [mm] R^3) [/mm] erfüllen...???
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> hmmm...
> ist V eine matrix aus [mm]R^3??[/mm]
Hallo,
wie kommst Du denn auf sowas?
Es ist doch V definert als der Vektorraum, der aus den oberen 2x2-Dreiecksmatrizen besteht.
Aaaaber: Du hast je gezeit (oder zeigen sollen?), daß B eine Basis ist. Damit ist die Dimension von V =3.
Du kansnt jede Matrix als Koordinatenvektor bzgl. B schreiben, und das ist eine Spalte mit drei Einträgen.
> dann könnte ich da einfach sagen,dass die vektoren in B
> linear unabhängige vektoren des [mm]R^3,da[/mm] 3,
Sie sind nicht im [mm] \IR^3.
[/mm]
Rechne einfach nach, daß sie linear unabhängig sind und führe vor, daß sie den V erzeugen. Dabei kapierst Du am meisten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 27.05.2009 | | Autor: | so_magic |
hahaha das war nur eine doofe idee..
die lineare unabhängigkeit habe ich ja mittlerweile gezeigt, aber das mit dem erzeugendensystem verwirrt mich einbisschen...
mir wurde ja oben empfohlen, die LK zu verwenden und die abhängigkeit der koeffizienten von a,b,c zu zeigen,was ich ja gerade gemacht habe.aaaabber nun weiß ich halt nicht,was mir das sagt,ist zumindest nicht einleuchtend bzgl dem erzeugendensystem :S
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Hallo nochmal,
Spiel zuende, hochverdient 2-0 für Barca
> hahaha das war nur eine doofe idee..
> die lineare unabhängigkeit habe ich ja mittlerweile
> gezeigt, aber das mit dem erzeugendensystem verwirrt mich
> einbisschen...
> mir wurde ja oben empfohlen, die LK zu verwenden und die
> abhängigkeit der koeffizienten von a,b,c zu zeigen,was ich
> ja gerade gemacht habe.aaaabber nun weiß ich halt nicht,was
> mir das sagt,ist zumindest nicht einleuchtend bzgl dem
> erzeugendensystem :S
Ich versuch's nochmal:
Die 3 Matrizen, von denen du zeigen sollst, dass die ne Basis des VR der oberen Dreiecksmatrizen bilden, müssen dazu linear unabh. sein (das hast du gezeigt) und ein Erzeugendensystem.
Das bedeutet, dass jede obere Dreiecksmatrix aus dieses dreien erzeugt werden kann, also als LK dieser 3 dargestellt werden kann.
Dazu hatten wir uns eine beliebige obere Dreiecksmatrix hergenommen, das war [mm] $\pmat{a&b\\0&c}$ [/mm] und sie versucht als LK der drei Kandidaten darzustellen.
Dabei hast du herausgefunden, dass die Koeffizienten dieser LK, also [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] sich einzig und allein durch $a,b,c$, also die Einträge unserere beliebig vorgegebenen Matrix darstellen lassen.
Damit hast du für die beliebig vorgegebene obere Dreiecksmatrix [mm] $\pmat{a&b\\0&c}$ [/mm] eine Darstellung als LK der Kandidaten gefunden.
Ich zitiere dein Ergebnis:
[mm] $\pmat{a&b\\0&c}=\left(c-\frac{b}{2}+2a\right)\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}+\frac{b}{2}\cdot{}\pmat{0&2\\0&1}+a\cdot{}\pmat{1&0\\0&-2}$
[/mm]
Also kannst du jede beliebige obere Dreiecksmatrix auf diese Weise linear aus den drei Kandidaten kombinieren, die hier willkürlichen Einträge $a,b,c$ legen die LK fest.
Wie gesagt, prüfe dein Ergebnis mal anhand der konkreten Matrix in (3) nach.
Dafür hast du ja schon den Koordinatenvektor ausgerechnet.
Passt der zu deiner "Formel" für [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] mit den $a,b,c$?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mi 27.05.2009 | | Autor: | so_magic |
cool,dass sie gewonnen haben!!
:D also JETZT hab ich es eindeutig verstanden,super!!! :D
danke dir echt!! :D
das werd ich mal morgen nachprüfen!! ich lerne grad noch für eine andere prüfung :S
gute n8 :)
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Hi nochmal,
> cool,dass sie gewonnen haben!!
Jaa! Sie waren sehr überlegen!
>
> :D also JETZT hab ich es eindeutig verstanden,super!!! :D
Das ist schön!
> danke dir echt!! :D
Gerne
>
> das werd ich mal morgen nachprüfen!!
Mache das, deine "Formel" für [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] stimmt!
> ich lerne grad noch für eine andere prüfung :S
Viel Erfolg dafür!
> gute n8 :)
Ebenso ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 31.05.2009 | | Autor: | so_magic |
halli-hallo :)
ich wollt nur mal bescheid sagen,dass ich es an der nr.3 prüft habe und siehe da,es hat geklappt!!
dankeschön und bis demnächst :P
ganz lg magic
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