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Matrizen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Sa 25.01.2014
Autor: ElizabethBalotelli

Aufgabe
Sei K ein endlicher Körper mit k Elementen und n [mm] \in \IN. [/mm]
a) Wie viele invertierbare nxn Matrizen gibt es über k?
b) Wie viele nxn Matrizen gibt es über K, die mit jeder anderen nxn Matrix über K multiplikativ kommutieren?

Zur a)
Die Matrix ist ja invertierbar, wenn die Determinante nicht Null ist. Oder auch wenn die Spalten/Zeilen linear unabhängig sind. Das heißt doch, ich kann mich fragen, wieviele Möglichkeiten es gibt, die Matrix so zu wählen, dass ihre Spalten/Zeilen linear unabhängig sind. In der erste Zeile hätte ich für die erste Stelle also k Möglichkeiten, für die zweite Stelle wieder k und so weiter bis zur letzten Stelle der ersten Zeile. (Wobei ich nicht genau weiß ob das so stimmt, weil ich ja die 0 nicht als Möglichkeit habe)
Habe ich dann für die zweite Zeile an jeder Stelle K-1 Möglichkeiten? Stimmt mein Vorgehen so?

zur b)
Was bedeutet denn, dass Matrizen multiplikativ kommutieren?

Danke für eure Ratschläge =)


        
Bezug
Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Sa 25.01.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

a) es ist sinnvoll über die lineare Unabhängigkeit der Spalten zu gehen.
Wie viele Vektoren gibt es, die von sich selbst unabhängig sind?
Wie viele Vektoren [mm] $x_1,x_2$ [/mm] gibt es die unabhängig sind?
Und dann abschließden: Wie viele linear unabhängige Vektoren [mm] $x_1, \ldots x_n$ [/mm] gibt es?
b)AB=BA für festes A und beliebiges B. Hier könnten Elementarmatrizen nützlich sein.


Bezug
                
Bezug
Matrizen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 So 26.01.2014
Autor: ElizabethBalotelli


> Hallo,
>  
> a) es ist sinnvoll über die lineare Unabhängigkeit der
> Spalten zu gehen.
> Wie viele Vektoren gibt es, die von sich selbst unabhängig
> sind?

Jeder Vektor ist zu sich selbst abhängig, für  [mm] \vec v = a \vec v[/mm] mit a=1, oder?

>  Wie viele Vektoren [mm]x_1,x_2[/mm] gibt es die unabhängig sind?
>  Und dann abschließden: Wie viele linear unabhängige
> Vektoren [mm]x_1, \ldots x_n[/mm] gibt es?

Da hab ich im Internet was zu gefunden, weiß aber nicht ob das hier stimmt: [mm] \produkt_{i=1}^{n-1} k^n-k^i [/mm]

>  b)AB=BA für festes A und beliebiges B. Hier könnten
> Elementarmatrizen nützlich sein.
>  

Danke, ich werde mich jetzt mal ein bisschen intensiver mit den beiden Aufgabenstellungen befassen und mich dann noch mal melden =)


Bezug
                        
Bezug
Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:27 So 26.01.2014
Autor: MaslanyFanclub


> > Hallo,
>  >  
> > a) es ist sinnvoll über die lineare Unabhängigkeit der
> > Spalten zu gehen.
> > Wie viele Vektoren gibt es, die von sich selbst unabhängig
> > sind?
>  Jeder Vektor ist zu sich selbst abhängig, für  [mm]\vec v = a \vec v[/mm]
> mit a=1, oder?

Da hab ich mich leider etwas unglücklich (lies: falsch) ausgedrückt. Was ich meinte war: Wie viele symmetrischen Polynomen ektoren v gibt es, so dass die Menge [mm] $\{v\}$ [/mm] linear unabhängig ist?

>  >  Wie viele Vektoren [mm]x_1,x_2[/mm] gibt es die unabhängig
> sind?

Das wär der nächstschwierigere Fall.

>  >  Und dann abschließden: Wie viele linear unabhängige
> > Vektoren [mm]x_1, \ldots x_n[/mm] gibt es?
>  Da hab ich im Internet was zu gefunden, weiß aber nicht
> ob das hier stimmt: [mm]\produkt_{i=1}^{n-1} k^n-k^i[/mm]
>  >  

So wie es dasteht ist es falsch, sieht man z.B. sehr gut für n=1.

> b)AB=BA für festes A und beliebiges B. Hier könnten
> > Elementarmatrizen nützlich sein.
>  >  
> Danke, ich werde mich jetzt mal ein bisschen intensiver mit
> den beiden Aufgabenstellungen befassen und mich dann noch
> mal melden =)
>  


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