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Hallo Mathefans!
Habe da so eine Aufgabe zu machen und wollt mal nachfragen ob ihr mir helfen könnt. Hab leider keine Ahnung,wie ich die Aufgabe angehen soll.
Vielen Dank im Vorraus.
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben ist die Matrix
[mm] (\underline{K})=\pmat{ 1 & 2 & -1\\ a & 0 & a \\ \-2 & 2 & -4}
[/mm]
Bestimmen Sie alle Komponenten von
[mm] (\underline{x})= \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3}}
[/mm]
von der die Lösung der Gleichung [mm] (\underline{K})\*(\underline{x})=(\underline{0}) [/mm] sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 So 10.06.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
wenn du die Matrizen miteinander multiplizierst, erhältst du drei Gleichungen:
z.B.
[mm] 1*x_1+2*x_2-1*x_3=0
[/mm]
[mm] a*x_1+0*x_2....=0
[/mm]
...
Das homogene Gleichungssystem musst du dann Lösen, viel Erfolg ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
Herby
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Liebe Mathefreaks
Ich hab versucht, die Aufgabe weiter zu rechnen,doch leider versteh ich diese einfach nicht.
Was tun?
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1& 0 \\ a & 0 & a & 0 \\ -2 & 2 & -4 & 0}
[/mm]
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Hallo blackrain,
> Liebe Mathefreaks
>
> Ich hab versucht, die Aufgabe weiter zu rechnen,doch leider
> versteh ich diese einfach nicht.
>
> Was tun?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1& 0 \\ a & 0 & a & 0 \\ -2 & 2 & -4 & 0}[/mm]
die Matrix passt aber gar nicht zu deiner Matrix K in der Aufgabenstellung.
Du willst lösen: [mm] $K\cdot{}x=0$,
[/mm]
also: [mm] $\pmat{ 1 & 2 & -1\\ a & 0 & a \\ \-2 & 2 & -4}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Übersetzt in ein lineares GLS heißt das:
[mm] $x_1+2x_2-x_3=0$
[/mm]
[mm] $ax_1 +ax_3=0$
[/mm]
[mm] $2x_1+2x_2-4x_3=0$
[/mm]
Wie du das löst, ist Geschmackssache, ich empfehle - wie du auch probiert hast, die erweiterte Koeffizientenmatrix aufzustellen:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & -1&|&0\\ a & 0 & a&|&0 \\ \-2 & 2 & -4&|&0}$
[/mm]
Diese bringe mal mittels elementarer Zeilenumformungen in Zeilenstufenform.
Erlaubte Umformungen sind:
(1) Vertauschen von 2 Zeilen
(2) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
(3) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) [mm] \ne [/mm] 0
Wenn du das Ding in ZSF hast, kannst du die Lösbarkeit in Abhängigkeit von a "ablesen"
Geh's mal an 
LG
schachuzipus
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Habs mit der Matrix von der Aufgabenstellung gerechnet.
[mm] (\underline{K})=\pmat{ 1 & a & -2\\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & a & -4}
[/mm]
[mm] x_1 +ax_2-2x_3=0
[/mm]
[mm] 2x_1+2x_3=0
[/mm]
[mm] -x_1+ax_2-6x_3=0
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & 2a & -6\\ -1 & a & -4 \\ 0 & 2a & -6}
[/mm]
[mm] =\pmat{ -1 & a & -4\\ 0 & 2a & -6 \\ 0 & 2a & -6}
[/mm]
[mm] =\pmat{ -1 & a & -4\\ 0 & 2a & -6 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
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Hallo blackrain,
die Matrix sieht zwar irgendwie anders aus, als die, die du in der Aufgabenstellung gepostet hast, aber egal, dann halt mit dieser hier:
Leider stehen keine Rechenschritte bei deinen Umformungen.
Wenn ich in der Ausgangsmatrix das -2fache der 1.Zeile zur 2.Zeile addiere und die 1.Zeile zur 3.Zeile, und anschließend die 2-Zeile zur 3.Zeile addiere, komme ich auf
$ [mm] \pmat{ 1 & a & -2&|&0\\ 0 & -2a & 6&|&0 \\ 0 & 0 & 0&|&0} [/mm] $
Hier kann man noch die 2.Zeile mit [mm] -\frac{1}{2} [/mm] multiplizieren und hat schließlich
$ [mm] \pmat{ 1 & a & -2&|&0\\ 0 & a & -3&|&0 \\ 0 & 0 & 0&|&0} [/mm] $
Ich weiß nicht, wie du die -4 in den Eintrag [mm] a_{13} [/mm] "reingezaubert" hast
Außerdem ist da ein VZF im Eintrag [mm] a_{11}
[/mm]
So hier ist nun eine Variable frei wählbar, nehmen wir zB [mm] x_3=t, t\in\IR
[/mm]
Dann ist mir Zeile 2: [mm] $ax_2-3t=0\Rightarrow ax=3t\Rightarrow x_2=\frac{3t}{a}$ [/mm] für [mm] $a\ne [/mm] 0$
Dann ist mit Zeile 1: [mm] x_1=.....
[/mm]
Anschließend musst du dann den Fall a=0 betrachten, den mussten wir ja wegen der Division durch a ausschließen
Gruß
schachuzipus
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So hier ist nun eine Variable frei wählbar, nehmen wir zB [mm] x_3=t, t\in\IR [/mm]
Dann ist mir Zeile 2: [mm] ax_2-3t=0\Rightarrow ax=3t\Rightarrow x_2=\frac{3t}{a} [/mm] für [mm] a\ne [/mm] 0
Dann ist mit Zeile 1: [mm] x_1+a(\bruch{3t}{a})-2t=x_1+3t-2t x_1=-t
[/mm]
[mm] x_1=-t
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{3t}{a}
[/mm]
[mm] x_3=t
[/mm]
Danke vielmals für deine Hilfe.
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Hallo blackrain,
> So hier ist nun eine Variable frei wählbar, nehmen wir zB
> [mm]x_3=t, t\in\IR[/mm]
>
> Dann ist mir Zeile 2: [mm]ax_2-3t=0\Rightarrow ax=3t\Rightarrow x_2=\frac{3t}{a}[/mm]
> für [mm]a\ne[/mm] 0
>
> Dann ist mit Zeile 1: [mm]x_1+a(\bruch{3t}{a})-2t=x_1+3t-2t x_1=-t[/mm]
>
> [mm]x_1=-t[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{3t}{a}[/mm]
> [mm]x_3=t[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Danke vielmals für deine Hilfe.
Du kannst also einen Lösungsvektor [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] schreiben als [mm] $t\cdot{}\vektor{-1\\\frac{3}{a}\\1}$
[/mm]
Nun musst du noch kurz gucken, wie es für $a=0$ aussieht, das hatten wir ja oben rausgenommen.
Gibt es für $a=0$ auch ein Lösung/Lösungen und falls ja, wie sieht/sehen sie aus?
Ansonsten alles ok
LG
schachuzipus
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