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| Aufgabe | Sei
[mm] A:=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 0 } [/mm] und
[mm] B:=\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -2 \\ 0 & 3 }
[/mm]
Zeige: N(A)=SR(B). |
Hallo,
ich bräuchte hier mal dringend Hilfe.
Was bedeutet denn N(A)=SR(B)??
Ich konnte das nichtmal in unserem Skript finden...
Ich habe mir überlegt, dass mit N(A) der Nullraum, also der Kern von A gemeint sein könnte... Stimmt das?
Und was ist S und R(B)?
Lg
Karotte
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Ich vermute SR steht für Spaltenraum, also den Raum, der von den Spalten der Matrix aufgespannt wird.
Hast Du schon eine Basis für den Nullraum von A?
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Ja, habe ich.
A in Zeilenstufenform:
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 }
[/mm]
Also habe ich 2 Freiheitsgrade.
1.) a+b+2c+d=0
2.)3c+2d=0
Ich habe d=3 gewählt:
3c=-6 [mm] \Rightarrow [/mm] c=-2
Dann habe ich b=2 gewählt:
a+2-4+3=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=-1
[mm] \Rightarrow Kern(A)=\vektor{-1 \\ 2 \\ -2 \\ 3 }
[/mm]
Wie berechne ich den Spaltenraum?
EDIT:
Ich habe es jetzt mal so versucht:
1.) -x+y=0
2.) x=0
3.) -2y=0
4.) 3y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + y [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 3 }
[/mm]
Ist das dann der Spaltenraum?
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Hallo Karotte,
> Ja, habe ich.
> A in Zeilenstufenform:
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also habe ich 2
> Freiheitsgrade.
>
> 1.) a+b+2c+d=0
> 2.)3c+2d=0
>
> Ich habe d=3 gewählt:
> 3c=-6 [mm]\Rightarrow[/mm] c=-2
>
> Dann habe ich b=2 gewählt:
> a+2-4+3=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=-1
>
> [mm]\Rightarrow Kern(A)=\vektor{-1 \\ 2 \\ -2 \\ 3 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Das kann doch gar nicht sein, der Kern ist doch 2dimensional!!
Du hast deine Matrix A in ZSF gebracht, da haste 2 freie Variablen.
zB [mm] $x_4=t$ [/mm] und [mm] $x_2=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Es ist ja Kern(A) die Lösungsmenge (Lösungsraum) von Ax=0
Mit [mm] $x_4=t$ [/mm] ist mit Zeile 2: [mm] $x_2=-\frac{2}{3}t$
[/mm]
Dann mit diesen Ergebnissen und [mm] $x_2=s$ [/mm] ist mit Zeile 1:
[mm] $x_1=-s-2\left(-\frac{2}{3}t\right)-t=-s+\frac{1}{3}t$
[/mm]
Die Lösungsmenge ist also [mm] $\{x\in\IR^4\mid x=\vektor{-s+\frac{1}{3}t\\s\\-\frac{2}{3}t\\t}=s\vektor{-1\\1\\0\\0}+t\vektor{\frac{1}{3}\\0\\-\frac{2}{3}\\1}, s,t\in\IR\}$
[/mm]
[mm] $=\{x\in\IR^4\mid x=s\vektor{-1\\1\\0\\0}+t'\vektor{1\\0\\-2\\3}, s,t'\in\IR\}$
[/mm]
Also [mm] $Kern(A)=\langle\vektor{-1\\1\\0\\0},\vektor{1\\0\\-2\\3}\rangle$
[/mm]
> Wie berechne ich den Spaltenraum?
Der Spaltenraum von B ist der Raum, der von den Spalten von B aufgespannt wird.
Nun sind die beiden Spalten von B linear unabhängig (durch Hinsehen), also spannen sie den SR(B) auf
Wie du siehst, ist das derselbe Spann, der den Kern(A) aufspannt
> EDIT:
>
> Ich habe es jetzt mal so versucht:
>
> 1.) -x+y=0
> 2.) x=0
> 3.) -2y=0
> 4.) 3y=0
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + y [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 3 }[/mm]
>
> Ist das dann der Spaltenraum? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo, das isser 
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Karotte0.0 |
Danke!!
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