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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 14.04.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
ich hab da mal eine Frage.
[mm] \pmat{ 4 & 5 & 6 }*\vektor{-4 \\ -5 \\ -6 }=-77 [/mm] , aber [mm] \vektor{-4 \\ -5 \\ -6 }*\pmat{ 4 & 5 & 6 }= \pmat{ -16 & -20 & -24 \\ -20 & -25 & -30 \\ -24 & -30 & -36 }
[/mm]
Das [mm] \pmat{ 4 & 5 & 6 }*\vektor{-4 \\ -5 \\ -6 }=-77 [/mm] , versteh ich!
Aber warum ist [mm] \vektor{-4 \\ -5 \\ -6 }*\pmat{ 4 & 5 & 6 }= \pmat{ -16 & -20 & -24 \\ -20 & -25 & -30 \\ -24 & -30 & -36 } [/mm] ??? Das versteh ich überhaupt nicht !!! ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen ?
Vielen Dank für eure Antworten!!!
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Do 14.04.2005 | | Autor: | Julius |
Lieber Fabian!
Klar, das ist überhaupt kein Problem. 
Lehnen wir uns erst einmal zurück und überlegen uns, wie man zwei Matrizen multipliziert.
Wann darf man überhaupt eine Matrix $A$ mit einer Matrix $B$ multiplizieren, d.h. wann macht das Matrizenprodukt $A [mm] \cdot [/mm] B$ überhaupt Sinn?
Genau dann, wenn die Anzahl der Spalten von $A$ gleich der Anzahl der Zeilen von $B$ ist.
Ist also $A$ eine $(k [mm] \times [/mm] m)$- und $B$ eine $(m [mm] \times [/mm] n)$-Matrix, dann ist das Produkt $A [mm] \cdot [/mm] B$ definiert. Das Ergebnis ist eine $(k [mm] \times [/mm] n)$-Matrix, d.h. die beiden "$m$"'s kürzen sich sozusagen weg.
Warum ist das so? Nun dazu müssen wir uns überlegen, wie die Matrizenmultiplikation definiert ist.
Wir haben also:
$A [mm] \cdot [/mm] B = C$.
Wie berechnet man das Element $(p,q)$ der Matrix $C$, also dasjenige Element der Matrix $C$, das in der $p$-ten Zeilen und $q$-ten Spalte steht?
Nun: Man bildet das Skalarprodukt der $p$-ten Zeile von $A$ mit der $q$-ten Spalte von $B$, d.h. man hat:
[mm] $c_{pq} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^m a_{pi}b_{iq}$.
[/mm]
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) hier.
Nun schauen wir uns deine Fälle an:
> [mm]\pmat{ 4 & 5 & 6 }*\vektor{-4 \\ -5 \\ -6 }=-77[/mm]
Hier haben wir also eine $(1 [mm] \times [/mm] 3)$-Matrix, die mit einer $(3 [mm] \times [/mm] 1)$-Matrix multipliziert wird. Heraus muss also eine $(1 [mm] \times [/mm] 1)$-Matrix kommen, was nicht anderes als ein Skalar (eine Zahl) ist. Tut es auch!
Diese Zeile errechnet sich aus dem Skalarprodukt der ersten Zeile der ersten Matrix (die aber nur eine Zeile hat) mit der ersten Spalte der zweiten Matrix (die aber nur eine Spalte hat).
> [mm]\vektor{-4 \\ -5 \\ -6 }*\pmat{ 4 & 5 & 6 }= \pmat{ -16 & -20 & -24 \\ -20 & -25 & -30 \\ -24 & -30 & -36 }[/mm]
Hier wird eine $(3 [mm] \times [/mm] 1)$-Matrix mit einer $(1 [mm] \times [/mm] 3)$-Matrix multipliziert. Herauskommen muss also eine $(3 [mm] \times [/mm] 3)$-Matrix. Tut es auch!
Wie berechnet sich zum Beispiel das Element $(2,3)$ der Ergebnismatrix, also das Element, das in der zweiten Zeile und dritten Spalte steht? Genau: Aus dem Skalarprodukt der zweiten Zeile der ersten Matrix (huups: das ist aber nur eine einzige Zahl!) mit der dritten Spalte der zweiten Matrix (ebenfalls nur eine Zahl!). Hier ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren der Länge 1 einfach das Produkt zweier Zahlen. Das Produkt der Zahl an der Stelle $(2,1)$ der ersten Matrix mit der Zahl an der Stelle $(1,3)$ der zweiten Matrix.
Und so weiter...
Ist es dir jetzt klarer geworden?
Wenn nicht, dann frage bitte nach, ich helfe dir. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 14.04.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine sehr ausführlich und sehr verständliche Antwort! Jetzt ist mir alles klar!
Viele Grüße
Fabian
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