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| Aufgabe | Eine K-lineare Abbildung, [mm] \phi [/mm] heißt Projektion, falls [mm] \phi \circ \phi [/mm] = [mm] \phi [/mm] gilt. Für Teile i) und ii) sei [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] eine Projektion für die (1,2) [mm] \in [/mm] Ker [mm] (\phi) [/mm] und (1,-1) [mm] \in Im(\phi). [/mm] Man berechne die Matrix [mm] M_{A}^{A} (\phi) [/mm] falls:
i) [mm] A={\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}} [/mm] (Standardbasis)
ii) A= [mm] {\vektor{1 \\ 2},\vektor{1 \\ -1}}
[/mm]
Seien V ein n-dimensionaler Vektorraum und p: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung mit p [mm] \circ [/mm] p=p
iii) Zeigen Sie, dass es eine ganze Zahl k mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n gibt und eine Basis B von V gibt,so dass
[mm] M_{B}^{B} =\pmat{ E_{k} & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
wobei Ek die k [mm] \times [/mm] k Einheitsmatrix bezeichnet (d.h. [mm] M_{B}^{B} [/mm] (p) hat die Nummer 1 in den k ersten Diagonaleinträge und die Nummer 0 in allen anderen Einträge). |
OK also bei dieser Aufgabe weiß ich nicht mal womit ich anfangen muss.
Ich würd sagen man liest aus der Angabe ,dass [mm] \phi [/mm] (1,2) = (0,0) und [mm] \phi [/mm] (w,v) = (1,-1) aber viel mehr seh ich da ned. Wie berechne ich für i) und ii) die Matrix und wie sollte der Beweis in iii) aufgebaut sein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu i)
Du hast $ [mm] \phi [/mm] $ (w,v) = (1,-1), also ist [mm] \phi(1,-1)= [/mm] $ [mm] \phi^2 [/mm] $ (w,v) = $ [mm] \phi [/mm] $ (w,v) =(1,-1)
Weiter ist
(1,0)= 1/3(1,2)+2/3(1,-1),
somit ist [mm] \phi(1,0)=0*(1,2)+2/3(1,-1)
[/mm]
Daher ist die erste Spalte der gesuchten Matrix:
0
2/3
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mo 13.06.2011 | | Autor: | froggy60 |
hat irgendwer eine idee für teilaufgabe 3? bin vollkommen ratlos dabei grade
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> hat irgendwer eine idee für teilaufgabe 3? bin vollkommen
> ratlos dabei grade
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Leider weiß ich nicht, was Du bisher getan und überlegt hast.
Waren Eigenwerte und Eigenvektoren schon dran bei Euch?
Wie dem auch sei: Du suchst eine Basis B mit der Eigenschaft, daß k Basisvektoren [mm] b_1,...,b_k [/mm] durch die betrachtete Abbildung auf sich selbst abgebildet werden,
und der Rest der gesuchten Basisvektoren wird auf die Null abgebildet, ist also eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
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