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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 06.11.2006 | | Autor: | derGecko |
| Aufgabe | Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde das Grauhörnchen, Sciurus carolinen-
sis, aus Amerika in Großbritannien eingeschleppt und macht seitdem dem dort einheimischen
Europäischen Eichhörnchen, Sciurus vulgaris, Konkurrenz. Nun wurden viele verschiedene Ge-
biete Großbritanniens über mehrere Jahre hinweg auf ihre Eichhörnchenpopulation untersucht
und jeweils einem der folgenden 4 Zustände zugeordnet1:
1 : In diesem Gebiet kommt nur das Europ¨aische Eichhörnchen vor.
2 : In diesem Gebiet kommt nur das Grauhörnchen vor.
3 : In diesem Gebiet kommen beide Hörnchenarten vor.
4 : In diesem Gebiet kommt keines der beiden Hörnchen vor.
Der Zustand eines Gebietes kann sich dabei von Jahr zu Jahr verändern. Z.B. wurde geschätzt,
dass in a12 = 0.0382 = 3.82% der Gebiete, in denen in einem Jahr nur das Grauhörnchen
vorkam (Zustand 2), im darauffolgenden Jahr nur das Europäische Eichhörnchen auftritt
(Zustand 1). Für alle 4×4 = 16 möglichen Zustandspaare ergab sich folgende Übergangsmatrix :
A =
0.8797 0.0382 0.0527 0.0008
0.0212 0.8002 0.0041 0.0143
0.0981 0.0273 0.8802 0.0527
0.0010 0.1343 0.0630 0.9322
Dabei steht der Eintrag aij der Matrix A in Zeile i und Spalte j für den Anteil der Gebiete,
die vom Zustand j in den Zustand i wechseln. (Diese Zahl kann auch als Wahrscheinlichkeit
aufgefasst werden. Achtung: Oft wird in der Literatur, insbesondere der mathematischen, die
transponierte Matrix AT anstelle von A angegeben.)
(a) Welche Eigenschaft haben die 4 Spaltensummen der Matrix A, d.h. die
Summen der Einträge einer Spalte von A? Warum?
(b) Angenommen, in diesem Jahr kommt in 20% der Gebiete nur das Eu-
ropäische Eichhörnchen vor, in 10% nur das Grauhörnchen, in 30% beide Hörnchenarten
und in den restlichen 40% gar kein Hörnchen. Wie lauten dann die Prozentzahlen für
das nächste Jahr? Wie bekommt man den Vektor dieser Prozentzahlen als Produkt eines
Vektors und der Matrix A?
(c) Nun suchen wir eine zahlenmäßige Verteilung der Gebiete auf die 4 mögli-
chen Zustände, die zeitlich stabil ist, die sich also, sobald sie einmal eingetreten ist, nicht
mehr ändert. Um das Prinzip zu verdeutlichen, nehmen wir der Einfachheit halber an,
dass es nur die beiden Zustände 1 und 2 gibt und dass die zugehörige Matrix A wie folgt
lautet:
A =
0.9 0.2
0.1 0.8
Für welche Zahlen x1 und x2 mit x1 + x2 = 1 gilt, dass, wenn sich in diesem Jahr ein
Anteil von xi der Gebiete im Zustand i befindet (i = 1, 2), dies auch noch im nächsten
Jahr genauso zutrifft? |
Liebe Forum Leser,
Es fällt mir schwer bei dieser Aufgabe einen korrekten Ansatz zu finden. Ich hoffe es findet sich jemand, der mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen kann. Ich wäre für jeden hilfreichen Tipp sehr dankbar.
Viele Grüße
DerGecko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Gecko,
1) Na welche Eigenschaft haben die Spaltensummen? Rechne sie mal aus. Da kommt jeweils 1 raus. Warum? Es stand vorher ein Hinweis auf die Einträge der Matrix als Wahrscheinlichkeiten. In der j-ten Spalte i-te Zeile steht die Übergangsw'keit von Zustand j in Zustand i nach Ablauf enes Jahres. Angenommen du bist (mit einem Gebiet) in Zustand 1, dann bist du nach einem Jahr mit einer gewissen W'Keit in Zustand 1 oder 2 oder 3 oder 4. Aber in irgendeinem musst du ja sein. Deshalb ist die Summe der W'keiten 1. (Oder 100%, falls dir das vertrauter ist). Und eben diese Übergangsw'keiten stehen in der 1. Spalte (weil du ja von Zustand 1 kamst). In den anderen Spalten stehen jeweils die W'keiten, wenn du von einem andern Zustand ausgehst.
2) Nimm mal an du hast 100 Gebiete, 20 davon ist Zustand 1(d.h. ein Anteil von 0,2) , 10 in Zstd 2, usw. In der 1. Zeile (der Übergangsmatrix) steht, welcher Anteil der Gebiete,die vorher Zustand 1 ,bzw, 2,3,4 hatten, nach einem Jahr in Zstd 1 wechseln (bzw. bleiben, wenn sie vorher schon Zst 1 hatten). Wenn du den Vektor [mm] \vektor{0,2 \\ 0,1 \\ 0,3 \\0,4 } [/mm] mit der Matrix multiplizierst, bekommst du die neue Verteilung der Gebiete auf die Zustände, z.B. Anteil der Gebiete mit Zust.1(nach einem Jahr) = 0,2*0,8797+0,1*0,0382+0,3*0,0527+0,4*0,0008
usw.
3) Gesucht ist ein Vektor mit [mm] A*\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{x_1\\x_2}
[/mm]
Das ist ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten...
Alles klar? 
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mo 06.11.2006 | | Autor: | derGecko |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Deine Erklärungen waren mir sehr hilfreich.
Liebe Grüße
DerGecko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 15.11.2006 | | Autor: | derGecko |
| Aufgabe | In Teilaufgabe c) wurde die Matrix
A= (0.9 0.2)
(0.1 0.8)
eingeführt, die die Übergänge der untersuchten Gebiete von Jahr zu Jahr zwischen den Zuständen
1: "In diesem Gebiet kommt nur das Europäische Eichhörnchen vor."
2: "In diesem Gebiet kommt nur das Grauhörnchen vor."
beschreiben soll.
Finden Sie die entsprechende Matrix, die die Übergänge der Gebiete von einem Jahr zum übernächsten Jahr beschreibt. |
Ich würde mich sehr freuen wenn mir hier einer weiterhelfen kann. Stehe auf dem Schlauch.
Liebe Grüße
derGecko
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Gecko
Nur ganz kurz, weil ich weg muss: [mm] A^2=A*A
[/mm]
Wenn dir nicht klar ist warum, sag nochmal bescheid, dann poste ich heute Abend nochmal.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 15.11.2006 | | Autor: | derGecko |
Hallo Walde,
vielen Dank zunächst mal für deine rasche Antwort!
Ist diese Rechnung vergleichbar mit dem "Zinseszins"?
Viele Grüße
derGecko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
hm, ja, im Prinzip schon.
Wenn K das (Start-)Kapital ist und p dein Zinssatz, hast du nach einem Jahr [mm]K*q[/mm] Euro auf dem Konto mit [mm]q=(1+p)[/mm]. Nach 2 Jahren [mm] (K*q)*q=K*q^2 [/mm] usw.
Wenn x dein (Start-)Zustand der Hörnchen ist, hast du nach einem Jahr den Zustand [mm]A*x[/mm] erreicht. Nach einem weiteren Jahr dann [mm] A*(A*x)=A^2*x [/mm] , usw.
L G walde
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