Matrizen B für ABA=A finden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Gegeben sei die Matrix [mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm].
Bestimmen Sie alle Matrizen B mit der Eigenschaft [mm]A*B*A=A[/mm] |
| Aufgabe 2 | | Welche unter diesen Lösungsmatrizen erfüllen die Zusatzbedingungen, dass beide Matrizenprodukte [mm]B*A[/mm] und [mm]A*B[/mm] symmetrische Matrizen darstellen? |
Hallo Mathe-Cracks ;)
Ich hänge leider an einer Matrizen-Aufgabe.
Soweit ich das erkenne, muss die Matrix B wohl eine (3,2)-Matrix (also 3 Zeilen, 2 Spalten) sein. Ich vermute, dass es irgendwie mit der Inversen Matrix und der Einheitsmatrix voran kommt aber ich bekomme das einfach nicht zusammen. Weiß jemand Rat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 29.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben sei die Matrix [mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm].
>
> Bestimmen Sie alle Matrizen B mit der Eigenschaft [mm]A*B*A=A[/mm]
> Welche unter diesen Lösungsmatrizen erfüllen die
> Zusatzbedingungen, dass beide Matrizenprodukte [mm]B*A[/mm] und [mm]A*B[/mm]
> symmetrische Matrizen darstellen?
> Hallo Mathe-Cracks ;)
>
> Ich hänge leider an einer Matrizen-Aufgabe.
> Soweit ich das erkenne, muss die Matrix B wohl eine
> (3,2)-Matrix (also 3 Zeilen, 2 Spalten) sein. Ich vermute,
> dass es irgendwie mit der Inversen Matrix und der
> Einheitsmatrix voran kommt aber ich bekomme das einfach
> nicht zusammen. Weiß jemand Rat?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Matrix B muss eine 3x2 Matrix sein, da hast Du Recht.
Nehme ein beliebige Matzrix [mm] B=\pmat{ B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ B_{31} & B_{32} } [/mm] und stelle die Gleichungen für
A*B*A=A auf.
Es gibt ein Gleichungssystem von 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Das Gleichungssystem hat die Form
[mm] C\vektor{B_{11} \\ B_{12} \\ B_{21} \\ B_{22} \\ B_{31} \\ B_{32} }=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ } [/mm] wobei C eine 6x6 Matrix ist.
Daraus kannst Du die Bedingungen für die Koeffizienten der Matrixen B bestimmen.
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Wo hast du denn C her?
Mir ist nicht klar, wie ich aus A*B*A=A die Gleichungen erstelle. Ich dachte an A*B=Einheitsmatrix, was aber wohl dann falsch ist.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:20 So 29.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Wo hast du denn C her?
> Mir ist nicht klar, wie ich aus A*B*A=A die Gleichungen
> erstelle. Ich dachte an A*B=Einheitsmatrix, was aber wohl
> dann falsch ist.
Hallo,
sowohl (A*B)*A als auch A*(B*A) müssen A ergeben.
Somit müssen sowohl A*B als auch B*A jeweils eine Einheitsmatrix sein.
Gruß Abakus
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Ja, so war mein ursprünglicher Denkansatz. Daraus schließt sich, denke ich:
[mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
[mm]A*B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }*\pmat{ a & b \\ c & d \\ e & f }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
[mm]a+e=1[/mm]
[mm]b+f=0[/mm]
[mm]c+e=0[/mm]
[mm]d+f=1[/mm]
So war mein Vorgehen aber diese Gleichungen kann ich so doch nicht eindeutig auflösen!?
Was aber anders ist, als der Weg von ullim!?
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Hallo,
so unterschiedlich sind die Tipps nicht. Während ullim sofort A*B*A=A betrachtet, wobei C einfach die Koeffizientenmatrix der verwendeten Variablen ist, hat Abakus den Gedanken mit der Einheitsmatrix ins Spiel gebracht, wobei dann natürlich auch noch [mm] B*A=E_3 [/mm] betrachtet werden muss.
Ich denke, der Weg von ullim ist letztendlich der günstigere, gerade auch wegen der anschließenden Fragestellung. Der Weg von abakus entzerrt die Rechnung etwas, ist aber dadurch auch mit ein wenig mehr Schreibarbeit verbunden.
EDIT: auch ich bin hier einem Denkfehler aufgesessen. Daher nochmal nachgeschoben: du musst das so rechnen, wie von ullim vorgeschlagen!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 29.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
A*B*A ergibt
[mm] \pmat{ B_{11}+B_{31} & B_{12}+B_{32} & B_{11}+B_{12}+B_{31}+B_{32} \\ B_{21}+B_{31} & B_{22}+B_{32} & B_{21}+B_{22}+B_{31}+B_{32} } [/mm]
Das mit der Matrix A gleichgesetzt ergibt 6 Gleichungen mit 6 Unbekanten das man als
[mm] C\vektor{B_{11} \\ B_{12} \\ B_{21} \\ B_{22} \\ B_{31} \\ B_{32} }=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ }
[/mm]
schreiben kann.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:03 Mo 30.12.2013 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hallo,
> sowohl (A*B)*A als auch A*(B*A) müssen A ergeben.
> Somit müssen sowohl A*B als auch B*A jeweils eine
> Einheitsmatrix sein.
Hallo,
wie im Thread bereits von Sax und ullim erwähnt, ist dieser Schluß falsch.
LG Angela
> Gruß Abakus
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:42 Mo 30.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
diesem Trugschluss bin ich dann auch aufgesessen.
> > sowohl (A*B)*A als auch A*(B*A) müssen A ergeben.
> > Somit müssen sowohl A*B als auch B*A jeweils eine
> > Einheitsmatrix sein.
>
> wie im Thread bereits von Sax und ullim erwähnt, ist
> dieser Schluß falsch.
Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ. Darauf basiert der erste Satz hier oben von abakus.
Die interessante Frage ist doch nun, warum aus X*A=A nicht X=E folgt, ebenso für A*X=A.
Für quadratische Matrizen gilt das ja, aber A ist nicht quadratisch.
Da habe ich entweder damals etwas verpasst, oder es ist mir seitdem entfallen. Ich hätte (und habe) genauso argumentiert.
Kannst Du (oder jemand anders) da Licht in die Sache bringen?
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 13:48 Mo 30.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Die interessante Frage ist doch nun, warum aus X*A=A nicht
> X=E folgt, ebenso für A*X=A.
> Für quadratische Matrizen gilt das ja, aber A ist nicht
> quadratisch.
> Da habe ich entweder damals etwas verpasst, oder es ist
> mir seitdem entfallen. Ich hätte (und habe) genauso
> argumentiert.
>
> Kannst Du (oder jemand anders) da Licht in die Sache
> bringen?
>
> Herzliche Grüße
> reverend
Wenn X*A=A und X ist eine quadratische Matrix ist, bedeutet das doch auch (X-E)*A=0
Für Matrizen dessen Produkt 0 ergibt, gilt aber nicht, dass jetzt einen Matrix die Nullmatrix sein muss. Das gilt auch für quadratische Matrizen, z.B. für die Matrizen
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 16 \\ 1 & -3 & -7 \\ -2 & 2 & 2 } [/mm] und [mm] \pmat{ -2 & -4 & -8 \\ -3 & -6 & -12 \\ 1 & 2 & 4 }
[/mm]
und deshalb folgt auch nich X=E
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:15 Mo 30.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo ullim,
danke für die Erklärung. Die verstehe ich sogar. 
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Die interessante Frage ist doch nun, warum aus X*A=A nicht X=E folgt,
> ebenso für A*X=A.
Das ist nicht die Frage. Die Frage lautet "Warum sollte es ?"
> Für quadratische Matrizen gilt das ja, aber A ist nicht quadratisch.
Es gilt nur für reguläre quadratische Matrizen.
Gruß Sax.
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Hola ponchofiesta,
Du bist auf dem richtigen Weg.
> Wo hast du denn C her?
> Mir ist nicht klar, wie ich aus A*B*A=A die Gleichungen
> erstelle. Ich dachte an A*B=Einheitsmatrix, was aber wohl
> dann falsch ist.
Na, den einen Pfad hast Du ja schon richtig beschritten.
Ich sags mal so: B muss sowohl eine Linksinverse von A als auch eine Rechtsinverse sein.
Also ergeben A*B und B*A jeweils eine Einheitsmatrix, aber eben nicht der gleichen Dimension.
Daraus gewinnst Du mehr als genug Bedingungen, will heißen: u.U. sind gar nicht alle erfüllbar. Hier aber doch...
Diophant hat Dich schon darauf hingewiesen, was noch fehlt. Anders als er halte ich den Ansatz von abakus für einfacher.
Die Antwort auf die zweite Frage ist jedenfalls: alle B, die die Bedingung erfüllen, liefern AB und BA symmetrisch, nämlich als Einheitsmatrix.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
das stimmt doch überhaupt nicht, wie das Beispiel B = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 2 & 2 \\ -2 & -1 } [/mm] zeigt.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mo 30.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn man den von mir beschriebenen Lösungsweg weiter verfolgt, sieht man, dass alle Matrizen der Form
[mm] B=\pmat{ 1-x & -y \\ -x & 1-y \\ x & y } [/mm] die Gleichung A*B*A=A erfüllen.
A*B ergibt dann [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
und B*A ergibt [mm] \pmat{ 1-x & -y & 1-x-y \\ -x & 1-y & 1-x-y \\ x & y & x+y}
[/mm]
Daraus kann man die Bedingungen ableiten, die die beiden Matrixprodukte symetrisch machen. Zusätzlich erkennt man, das B*A nicht immer die Einheitsmatrix sein muss.
Für x=-2 und y=-1 ergibt sich das Gegenbeispiel von Sax.
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