Matrizen (Basen?) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 19.03.2009 | | Autor: | pittster |
Hallo!
In dem Buch "Lineare Algebra" von Gerd Fischer habe ich einen Sachverhalt nicht ganz verstanden.
Die entsprechende Seite: http://books.google.de/books?id=rUlGDEFCRxkC&printsec=frontcover&dq=%22gerd+fischer%22#PPA139,M1 (der Satz von Seite 139)
Dass sich lineare Abbildungen über Matrizen "darstellen" lassen, ist mir nicht neu. Aber was hat das mit den Basen zu tun?
Zitat: "Nach Wahl fester Basen kann lineare Abbildungen durch Matrizen ersetzen".
Die Bildmenge einer linearen Abbildung (und damit auch die eigeschaften wie injektivität, surjektivität oder gar bijektivität ist doch einzig und allein von den koeffizienten dieser Matrix abhängig). Was hat das mit den Basen zu tun?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 19.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Spaltenvektoren der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren. Wenn du keine Basis angibst ist die Matrix als Beschreibung der lin. abbildung sinnlos. Wenn du die Basis aenderst hast du ne andere Matrix.
Aber ueber einen VR und lineare Abbildungen kann man auch ohne angabe einer speziellen Basis reden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 19.03.2009 | | Autor: | pittster |
Um sicher zu stellen, dass ich das jetzt richtig verstanden habe:
Sei F eine Lineare Abbildung F: V [mm] \to [/mm] W, also $F [mm] \in [/mm] Hom(V, W)$, A = [mm] $(a_1, [/mm] ... [mm] a_n)$ [/mm] die Basis von V und B = [mm] $(b_1, [/mm] ... [mm] b_m)$ [/mm] die Basis von W.
Habe ich das nun richtig verstanden, dass die Matrix, die F beschreibt, folgende Spalten hat: [mm] $\begin{pmatrix} F(a_1), ... F(a_n)\end{pmatrix}$ [/mm] (m-zeilige Matrix)?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 19.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die [mm] b_i [/mm] nichts mt den [mm] a_i [/mm] zu tun haben nein!
Die Bilder [mm] F(a_i) [/mm] liegen in einem UV von V, nur wenn du in diesem UV wieder dieselbe basis nimmst stimmt das.
Ueblicherweise nimmt man fuer [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] die Standardbasis, dann wird das nicht extra betont.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pittster |
Ok, den Zusammenhang kann ich mir schon entfernt vorstellen.
Allerdings scheitern die Versuche, ein Beispiel zu konstruieren immernoch nachdem ich nun eine -nacht darüber geschlafen habe.
Sei $V = [mm] \mathbb{Q}^2$ [/mm] und $W = [mm] \mathbb{Q}^2$ [/mm] mit den Basen $B = [mm] (v_1, v_2)$ [/mm] für den Vektorraum V und $C = [mm] (w_1, w_2)$ [/mm] für den Vektorraum W.
Die Basisvektoren: [mm] $v_1 [/mm] = (9,0)$ und [mm] $v_2 [/mm] = (0,4)$, [mm] $w_1 [/mm] = (2,0)$ und [mm] $w_2 [/mm] = (0,7)$
Sei nun A die Abbildung A(v) = w mit w = [mm] $(\bruch{1}{2}v_1, 2v_2)$
[/mm]
Wie wird nun die dazu passende Matrix erstellt?
lg, Dennis
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> Allerdings scheitern die Versuche, ein Beispiel zu
> konstruieren immernoch nachdem ich nun eine -nacht darüber
> geschlafen habe.
>
> Sei [mm]V = \mathbb{Q}^2[/mm] und [mm]W = \mathbb{Q}^2[/mm] mit den Basen [mm]B = (v_1, v_2)[/mm]
> für den Vektorraum V und [mm]C = (w_1, w_2)[/mm] für den Vektorraum
> W.
>
> Die Basisvektoren: [mm]v_1 = (9,0)[/mm] und [mm]v_2 = (0,4)[/mm], [mm]w_1 = (2,0)[/mm]
> und [mm]w_2 = (0,7)[/mm]
Hallo,
ok.
>
>
> Sei nun A die Abbildung A(v) = w mit w = [mm](\bruch{1}{2}v_1, 2v_2)[/mm]
Zwei Fragen: was genau soll v sein?
Und w? So wie es jetzt dasteht, ist es ein 2-Tupel bestehend aus zwei Vektoren.
Etwas kraus, dieses Beispiel...
Ich gehe es jetzt mal ein bißchen bügeln.
Wir nehmen Deine Basisvektoren.
Für den Vektor [mm] a_1v_1+a_2v_2 [/mm] schreibe ich [mm] \vektor{a_1\\a_2}_{(B)}. [/mm] Mit dem (B) signalisiere ich, daß es sich um Koordinatenvektoren bzgl. der Basis B handelt, für die andere Basis analog.
Nun definiere ich eine Abbildung A: [mm] \IQ^2\to \IQ^2 [/mm] wie folgt:
[mm] A(a_1v_1+a_2v_2):= \bruch{1}{2}a_1*w_1+ 2a_2w_2 \qquad [/mm] für alle [mm] a_1, a_2\in \IQ.
[/mm]
In der Schreibweise mit Koordinatenvektoren sähe das so aus:
[mm] A(\vektor{a_1\\a_2}_{(B)}):=\vektor{\bruch{1}{2}a_1\\2a_2}_{(C)}.
[/mm]
>
> Wie wird nun die dazu passende Matrix erstellt?
Die darstellende Matrix bzgl der Basen B und C wäre dann [mm] _CM(A)_B=\pmat{\bruch{1}{2}&0\\0&2}.
[/mm]
Sie enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] in Koordinaten bzgl der Basis C.
Gruß v. Angela
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> lg, Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Bildmenge einer linearen Abbildung (und damit auch die
> eigeschaften wie injektivität, surjektivität oder gar
> bijektivität ist doch einzig und allein von den
> koeffizienten dieser Matrix abhängig). Was hat das mit den
> Basen zu tun?
Nichts
FRED
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> lg, Dennis
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