www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen Eigenwerte
Matrizen Eigenwerte < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrizen Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:42 Mo 18.05.2009
Autor: Unk

Aufgabe
Geben Sie Matrizen A,B an mit AB=BA, so dass gilt
(i) Jeder Eigenvektor von A ist Eigenvektor von B, aber die Umkerhung gilt nicht.
(ii) [mm] \exists [/mm] Eigenvektoren von A, die keine Eigenvektoren von B sind, und [mm] \exists [/mm] Eigenvektoren von B, die nicht Eigenvektoren von A sind.  

Hallo,

ich probiere an der Frage schon ziemlich lange herum, komme aber zu keinem Ergebnis, weder für (i) noch für (ii).

Ich habe in einem vorherigen Aufgabenteil bereits gezeigt: Ist AB=BA (wobei das quadratische Matrizen sind) und sind alle Eigenvektoren von A und B einfach, dann gilt: A,B haben die gleichen Eigenvektoren.

Muss ich das hier irgendwo verwenden? Wie gehe ich bei dieser Aufgabe am besten vor? Über einen Ansatz würde ich mich freuen.

Gruß   Unk

        
Bezug
Matrizen Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:20 Mo 18.05.2009
Autor: felixf

Hallo Unk

> Geben Sie Matrizen A,B an mit AB=BA, so dass gilt
> (i) Jeder Eigenvektor von A ist Eigenvektor von B, aber die
> Umkerhung gilt nicht.
>  (ii) [mm]\exists[/mm] Eigenvektoren von A, die keine Eigenvektoren
> von B sind, und [mm]\exists[/mm] Eigenvektoren von B, die nicht
> Eigenvektoren von A sind.
> Hallo,
>  
> ich probiere an der Frage schon ziemlich lange herum, komme
> aber zu keinem Ergebnis, weder für (i) noch für (ii).

Zu (i): Waehle doch $B$ als die Einheitsmatrix. (Und zwar keine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Einheitsmatrix.)

Zu (ii): Seinen $A$, $B$ die Matrizen aus (i). Konstruiere jetzt Matrizen $A', B'$ wie folgt: $A' = [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }$ [/mm] und $B' = [mm] \pmat{ B & 0 \\ 0 & A }$. [/mm] Kannst du mit den neuen Matrizen was anfangen?

> Ich habe in einem vorherigen Aufgabenteil bereits gezeigt:
> Ist AB=BA (wobei das quadratische Matrizen sind) und sind
> alle Eigenvektoren von A und B einfach, dann gilt: A,B
> haben die gleichen Eigenvektoren.
>  
> Muss ich das hier irgendwo verwenden?

Nein, also nicht direkt. Du siehst, dass $A$ oder $B$ mehrfache Eigenwerte haben muessen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Matrizen Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Mo 18.05.2009
Autor: Unk


> Zu (ii): Seinen [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] die Matrizen aus (i). Konstruiere
> jetzt Matrizen [mm]A', B'[/mm] wie folgt: [mm]A' = \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }[/mm]
> und [mm]B' = \pmat{ B & 0 \\ 0 & A }[/mm]. Kannst du mit den neuen
> Matrizen was anfangen?

Damit gilt dann auf jeden Fall Kommutativität bei der Matrizenmultiplikation. Aber wie begründe ich dann den Teil mit den Eigenvektoren?
Die Matrizen A' und B' sind doch dann ähnlich oder nicht? Kann man das damit begründen?

Bezug
                        
Bezug
Matrizen Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Di 19.05.2009
Autor: felixf

Hallo!

> > Zu (ii): Seinen [mm]A[/mm], [mm]B[/mm] die Matrizen aus (i). Konstruiere
> > jetzt Matrizen [mm]A', B'[/mm] wie folgt: [mm]A' = \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }[/mm]
> > und [mm]B' = \pmat{ B & 0 \\ 0 & A }[/mm]. Kannst du mit den neuen
> > Matrizen was anfangen?
>  
> Damit gilt dann auf jeden Fall Kommutativität bei der
> Matrizenmultiplikation. Aber wie begründe ich dann den Teil
> mit den Eigenvektoren?
> Die Matrizen A' und B' sind doch dann ähnlich oder nicht?

Sie sind sich aehnlich. Was bedeutet das sie die gleichen Eigenwerte haben. Ueber die Eigenraeume kann man damit allerdings nichts sagen (ausser ueber die Dimensionen, die sind gleich).

Geh doch mal anders vor. sind $C, D$ Matrizen und ist $v$ ein Eigenvektor von $C$, so ist [mm] $\pmat{ v \\ 0 }$ [/mm] ein Eigenvektor von [mm] $\pmat{ C & 0 \\ 0 & D }$. [/mm] Damit und den obigen Matrizen kannst du jetzt was fuer die Aufgabe machen.

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de