Matrizen Frage 2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:40 Do 07.10.2004 | | Autor: | eini |
2.)Für eine mxn - Matrix A sei rang ( A ) < m. Was folgt daraus für das lineare GLS Ax=b mit b aus [mm] R^{m} [/mm] ?
Das GLS besitzt mindestens eine / keine / höchstens eine Lösung , oder keins von alledem  ...
Also, ich gebe zu, ich schaue in meine Tabelle, bin trotzdem nicht ganz sicher, aber fast...Also, zuerst mal, heißt das ja, A hat entweder rang n oder < n , wenn die Matrix A rang n hat, dann ist das LGS eindeutig lösbar, wenn die Matrix einen kleineren Rang als n hat, dann mehrdeutig lösbar ( richtig, und warum ist das eigentlich so? Vielleicht ´ne kurze Erklärung, ja ? ) Das bedeutet, die Lösung der Aufgabe lautet "Das LGS besitzt mindestens eine Lösung". Hoffe, das stimmt so...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:35 Do 07.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini,
> 2.)Für eine mxn - Matrix A sei rang ( A ) < m. Was folgt
> daraus für das lineare GLS Ax=b mit b aus [mm]R^{m}[/mm] ?
> Das GLS besitzt mindestens eine / keine / höchstens eine
> Lösung , oder keins von alledem ...
>
> Also, ich gebe zu, ich schaue in meine Tabelle, bin
> trotzdem nicht ganz sicher, aber fast...Also, zuerst mal,
> heißt das ja, A hat entweder rang n oder < n ,
Jede [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix (und übrigens auch [mm] $n\times [/mm] m$-Matrix) hat entweder Rang n oder einen Rang kleiner n.
> wenn die
> Matrix A rang n hat, dann ist das LGS eindeutig lösbar,
> wenn die Matrix einen kleineren Rang als n hat, dann
> mehrdeutig lösbar ( richtig, und warum ist das eigentlich
> so? Vielleicht ´ne kurze Erklärung, ja ? ) Das
> bedeutet, die Lösung der Aufgabe lautet "Das LGS besitzt
> mindestens eine Lösung". Hoffe, das stimmt so...
Dein Ergebnis ist meiner Meinung nach richtig, nur verstehe ich den weg nicht ganz -- du benutzt z.B. gar nicht die Voraussetzung "rang(A)<m".
Für eine systematische Vorgehensweise würde ich zunächst die drei Fälle m<n, m=n und m>n unterscheiden, dann kann man viel besser argumentieren.
Probier's noch mal
Nun zu deiner Zwischenfrage, warum das LGS Ax=b für eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit Rang(A)<n mehrdeutig lösbar ist.
Das LGS hat ja genau n Spalten, diese sind linear abhängig (da die Anzahl der linear unabhängigen Spalten (="Rang(A)") ja kleiner als n ist).
Die Aussage wird sofort klar, wenn man das LGS folgendermaßen umformuliert: Gesucht ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A, die b ergeben. Wenn die Spaltenvektoren wie eben gezeigt linear abhängig sind, gibt es mehrere Linearkombinationen der Spaltenvektoren, die alle den Vektor b ergeben.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
