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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Sa 19.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } \in [/mm] V := ;(2 x 2,R) und [mm] \phi [/mm] : V -> V definiert durch
[mm] \phi(X) [/mm] = AXA für alle X [mm] \in [/mm] V.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] linear ist.
b) Geben Sie eine Basis von [mm] ker(\phi) [/mm] und [mm] im(\phi) [/mm] an, und überprüfen Sie die Dimensionsformel.
c) Ergänzen Sie eine Basis von [mm] ker(\phi) [/mm] zu einer Basis von V. |
Moin,
wie kann ich an diese Aufgabe herangehen?
zu a) fällt mir ein... ich könnte X = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
aufstellen und diese dann prüfen...
1. [mm] \phi(X_1) [/mm] + [mm] \phi(X_2) [/mm] = [mm] \phi(X_1 [/mm] + [mm] X_2)
[/mm]
2. [mm] \phi(c*X) [/mm] = [mm] c*\phi(X)
[/mm]
da mach ích mich gleich mal dran...
zu b)
Die Dimensionsformel lautet dim V = dim (kern [mm] \phi) [/mm] + dim (im [mm] \phi).
[/mm]
[mm] Kern(\phi) [/mm] ist die Menge der Lösungen des homogenen LGS AX = 0.
[mm] Im(\phi) [/mm] ist die Menge der Lösungen des LGS AX = B
zu c) habe ich keine Idee.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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> Sei A = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } \in[/mm] V := ;(2 x 2,R) und
> [mm]\phi[/mm] : V -> V definiert durch
>
> [mm]\phi(X)[/mm] = AXA für alle X [mm]\in[/mm] V.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\phi[/mm] linear ist.
>
> b) Geben Sie eine Basis von [mm]ker(\phi)[/mm] und [mm]im(\phi)[/mm] an, und
> überprüfen Sie die Dimensionsformel.
>
> c) Ergänzen Sie eine Basis von [mm]ker(\phi)[/mm] zu einer Basis von
> V.
> Moin,
>
> wie kann ich an diese Aufgabe herangehen?
>
> zu a) fällt mir ein... ich könnte X = [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
>
> aufstellen und diese dann prüfen...
>
> 1. [mm]\phi(X_1)[/mm] + [mm]\phi(X_2)[/mm] = [mm]\phi(X_1[/mm] + [mm]X_2)[/mm]
>
>
> 2. [mm]\phi(c*X)[/mm] = [mm]c*\phi(X)[/mm]
>
> da mach ích mich gleich mal dran...
Hallo,
ja, so solltest Du es machen.
Falls Du noch nicht angefangen hast: Nenn die Matrizen statt [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] lieber X und Y mit Einträgen [mm] x_i_j, y_i_j. [/mm] (Das hat jetzt nichts überhaupt nichts mit Mathematik zu tun, sondern dient eher dazu, Wahnsinn aufgrund zu vieler Indizes zu vermeiden)
>
>
> zu b)
>
> Die Dimensionsformel lautet dim V = dim (kern [mm]\phi)[/mm] + dim
> (im [mm]\phi).[/mm]
Ja.
>
> [mm]Kern(\phi)[/mm] ist die Menge der Lösungen des homogenen LGS AX
> = 0.
Nein.
Hier scheinen Dir zwei Sachen durcheinander zu geraten .
Erst mal allgemein: wir haben eine lineare Abbildung f:V --> W, ihre darstellende Matrix sei [mm] M_f.
[/mm]
Also ist für alle [mm] x\in [/mm] V [mm] f(x):=M_{f}x.
[/mm]
Was ist der Kern von f? Es ist die Menge aller x, die durch f auf die Null abgebildet werden, also die Menge aller x mit f(x)=0.
Nun ist 0=f(x) <=> [mm] M_{f}x=0,,
[/mm]
also ist der Kern von f in der Tat die Lösungsmenge des lin.homogenen GSs [mm] M_{f}x=0.
[/mm]
Ich höre nun schon in meinem inneren Ohr, wie Du zu mir sagst: "Ja und? Genau das sachich doch, bloß mit [mm] \Phi [/mm] und A."
Daher schauen wir uns die Abbildung [mm] \Phi [/mm] nochmal an:
Es ist [mm] \Phi(X) [/mm] definiert als [mm] \Phi(X):=AXA [/mm]
Von einer darstellenden Matrix ist dort weit und breit keine Spur.
Man mußte hier ja eine Matrix [mm] M_{\Phi} [/mm] haben mit [mm] \Phi(X):=M_{\Phi}X.
[/mm]
Man kann diese Matrix aufstellen, zuvor würde man darüber nachdenken müssen, bzgl welcher Basis sie sein soll. Ich möchte das an dieser Stelle nicht weiter ausführen, weil ich meine, das es zu Stunde eher verwirrt als nützt - aber es ist ein gangbarer Weg.
Zur Lösung der Aufgabe mit weniger Mitteln:
Wichtig ist: [mm] kern\phi [/mm] ist die Menge aller X für die gilt [mm] \Phi(X)=0.
[/mm]
Du kannst den Kern bestimmen, indem Du feststellst, welche Gestalt die X haben, die vermöge [mm] \Phi [/mm] auf die Null abgebildet werden.
Wenn Du das hast, kann ich Dir helfen, die Basis zu finden, falls Du sie nicht selbst findest.
Zur Bestimmung des Bildes: finde heraus, welche Gestalt die Matrizen [mm] \Phi(X) [/mm] haben.
Bei Aufgabe c) ist es natürlich notig, daß man erstmal den Kern hat, bevor man ihn ergänzen kann.
Generell ist es hier nützlich, wenn Du zunächst über irgendeine Basis von V nachdenkst. Hast Du eine, kennst Du eine? Welche Dimension hat V?
Gruß v. Angela
P.S.: An dieser Aufgabe kann man ganz viel lernen!
Möglicherweise ist es nützlich, wenn wir im Anschluß noch die darstellende Matrix bestimmen.
Dazu brauchst Du eine Basis des V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Sa 19.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
also zu a) habe ich:
Addition
[mm] \phi(X) [/mm] = AXA = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]
[mm] \phi(X) [/mm] = [mm] \pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11} + x_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \phi(Y) [/mm] = AYA = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]
[mm] \phi(Y) [/mm] = [mm] \pmat{ y_{11}+y_{21} & y_{11} + y_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \phi(X+Y) [/mm] = A(X+Y)A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{11} + y_{11} & x_{12} + y_{12} \\ x_{21} + y_{21} & x_{22} + y_{22} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]
[mm] \phi(X+Y) [/mm] = [mm] \pmat{ x_{11}+y_{11}+x_{21}+y_{21} & x_{11}+y_{11} + x_{21}+y_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \phi(X) [/mm] + [mm] \phi(Y) [/mm] = [mm] \pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11} + x_{21} \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ y_{11}+y_{21} & y_{11} + y_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \phi(X) [/mm] + [mm] \phi(Y) [/mm] = [mm] \pmat{ x_{11}+y_{11}+x_{21}+y_{21} & x_{11}+y_{11} + x_{21}+y_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
erfüllt.
Skalarmultiplikation
[mm] \phi(c*X) [/mm] = A(cX)A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ c*x_{11} & c*x_{12} \\ c*x_{21} & c*x_{22} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]
[mm] \phi(X) [/mm] = [mm] \pmat{ c*x_{11}+ c*x_{21} & c*x_{11} + c*x_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] c*\phi(X) [/mm] = c* [mm] \pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11} + x_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] c*\phi(X) [/mm] = [mm] \pmat{ c*x_{11}+ c*x_{21} & c*x_{11} + c*x_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
erfüllt.
Es handelt sich also umeine lineare Abbildung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 19.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
also ich habe jetzt:
Kern
X= [mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} }
[/mm]
Alle X, die auf [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] abgebildet werden...
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11}+x_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
bzw.
[mm] r*(x_{11} [/mm] + [mm] x_{21}) [/mm] + [mm] s*(x_{11} [/mm] + [mm] x_{21}) [/mm] = 0
[mm] (r+s)*x_{11} [/mm] + [mm] (r+s)*x_{21} [/mm] = 0
[mm] x_{11} [/mm] + [mm] x_{21} [/mm] = 0
[mm] x_{11}= [/mm] - [mm] x_{21}
[/mm]
Alle X der Gestalt
[mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ -x_{11} & x_{22} }
[/mm]
gehören zum Kern.
> Wenn Du das hast, kann ich Dir helfen, die Basis zu finden,
> falls Du sie nicht selbst findest.
Bin mir nicht sicher. Kann ich die Basis bilden, indem ich die Spalten als Vektoren auffasse, und diese dann zu einer Basis kombinieren.
Dann wäre z.B. eine Basis von V:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Dann müsste ich prüfen, welche Lösungen hat
[mm] r*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{x_{11} \\ x_{21}} [/mm]
[mm] r*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{x_{12} \\ x_{22}}
[/mm]
Macht das überhaupt Sinn?
> Zur Bestimmung des Bildes: finde heraus, welche Gestalt die
> Matrizen [mm]\Phi(X)[/mm] haben.
Bild
Alle X der Gestalt
[mm] \pmat{ x_{11} + x_{21} & x_{11} + x_{21}\\ 0 & 0 }
[/mm]
gehören zum BIld.
Müsste ich hier noch [mm] x_{11} [/mm] = - [mm] x_{21} [/mm] ausschliessen?
> Bei Aufgabe c) ist es natürlich notig, daß man erstmal den
> Kern hat, bevor man ihn ergänzen kann.
>
> Generell ist es hier nützlich, wenn Du zunächst über
> irgendeine Basis von V nachdenkst. Hast Du eine, kennst Du
> eine? Welche Dimension hat V?
dim V = 2
> Gruß v. Angela
>
> P.S.: An dieser Aufgabe kann man ganz viel lernen!
>
> Möglicherweise ist es nützlich, wenn wir im Anschluß noch
> die darstellende Matrix bestimmen.
> Dazu brauchst Du eine Basis des V.
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> also ich habe jetzt:
>
> Kern
>
> X= [mm]\pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} }[/mm]
>
> Alle X, die auf [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] abgebildet
> werden...
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11}+x_{21} \\ 0 & 0 }[/mm]
Ja.
>
> bzw.
>
> [mm]r*(x_{11}[/mm] + [mm]x_{21})[/mm] + [mm]s*(x_{11}[/mm] + [mm]x_{21})[/mm] = 0
??? Was soll denn das???
Du hast jetzt Schlüsse zu ziehen aus [mm] \pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11}+x_{21} \\ 0 & 0 }=\pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11}+x_{21} \\ 0 & 0 },
[/mm]
also komponentenweise vergleichen. (==> 4 Gleichungen )
>
> > Zur Bestimmung des Bildes: finde heraus, welche Gestalt die
> > Matrizen [mm]\Phi(X)[/mm] haben.
>
> Bild
>
> Alle X der Gestalt
>
> [mm]\pmat{ x_{11} + x_{21} & x_{11} + x_{21}\\ 0 & 0 }[/mm]
>
> gehören zum BIld.
Also alle matrizen, die man als [mm] \lambda [/mm] A schreiben kann mit [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
>
> Müsste ich hier noch [mm]x_{11}[/mm] = - [mm]x_{21}[/mm] ausschliessen?
Keinesfalls.
Deine Überlegungen zur Basis stimmen nicht.
Bevor wir über die Basen von Kern und Bild nachdenken, solltest Du Dir nochmals klarmachen, von welcher Art die Elemente des VRs V sind (Spaltenvektoren? Polynome? Rationale Zahlen?).
Was sind da für Elemente drin?
Das sind im VR V die Vektoren, und aus dieser Art von Elemente besteht natürlich auch die Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:13 So 20.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ich habe jetzt
Kern
X= [mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ - x_{11} & x_{22} }
[/mm]
alle solche Matrizen gehören zum Kern.
Basis:
[mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ - x_{11} & x_{22} } [/mm] = [mm] x_{11}*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] x_{12}*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] x_{21}*\pmat{ 0 & 0 \\ - 1 & 0 } [/mm] + [mm] x_{22}*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ - x_{11} & x_{22} } [/mm] = [mm] x_{11}*\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 0 } [/mm] + [mm] x_{12}*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] x_{22}*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Bild
X= [mm] \pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11}+ x_{21} \\ 0 & 0 }
[/mm]
alle solche Matrizen gehören zum Bild.
Basis:
[mm] \pmat{ x_{11}+x_{21} & x_{11}+x_{21} \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] (x_{11}+x_{21})*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] (x_{12}+x_{21})*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] 0*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] 0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ x_{11} + x_{21} & x_{11} + x_{21} \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] (x_{11}+x_{21})*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]
Wie kann ich aber jetzt die Basis des Kerns zu einer Basis von V ergänzen?
Was muss ich tun?
Reicht es, wenn ich die Basis-Elemente des Kerns und die Basis-Elemente des Bildes vereinige?
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] r*\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 0 } [/mm] + [mm] s*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] t*\pmat{ 0 & 0 \\0 & 1 } [/mm] + [mm] u*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
wenn ich jetzt daraus vier gleichungen mache:
0 = r + u
0 = s + u
0 = -r + t
0 = t
=> einzige lösung t=r=s=u=0
Also kann ich die Basis vom Kern mit durch die Basis vom Bild ergänzen. Punkt.
Stimmt das???
[Oder müsste ich
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] r*\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 0 } [/mm] + [mm] s*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] t*\pmat{ 0 & 0 \\0 & 1 } [/mm] + [mm] u*\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] ]
Keine Idee!
Danke & Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Di 22.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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