Matrizen doch keine Vektoren? < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 So 21.02.2010 | | Autor: | Flo18 |
Ich verstehe nicht, warum die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor bzw. die Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix anders abläuft, als die Multplikation zweier Vektoren.
Beispiel: [mm] \vektor{4 \\ -2 \\ 2} \* \vektor{-8 \\ 2 \\ 12} [/mm] = 4*(-8)+(-2)*2+2*12=(-32)+(-4)+24=-12
ABER, fasse ich die Vektoren als Matrix auf, bzw. rechne ich mit Matrizen, sieht es so aus:
[mm] \pmat{ 4 & -2 & 2} [/mm] * [mm] \pmat{ -8 \\ 2 \\ 12} [/mm] = [mm] \pmat{-12}
[/mm]
(Wobei ich diese Schreibweise für merkwürdig halte. Habe noch nie von einer einzeiligen UND einspaltigen Matrix gehört.)
Wie auch immer, meine Frage ist, was der Grund dafür ist, dass wir bei Vektoren Zeile mal Zeile rechnen und bei Matrizen Spalte mal Zeile.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich verstehe nicht, warum die Multiplikation einer Matrix
> mit einem Vektor bzw. die Multiplikation einer Matrix mit
> einer Matrix anders abläuft, als die Multplikation zweier
> Vektoren.
>
> Beispiel: [mm]\vektor{4 \\ -2 \\ 2} \* \vektor{-8 \\ 2 \\ 12}[/mm]
> = 4*(-8)+(-2)*2+2*12=(-32)+(-4)+24=-12
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> ABER, fasse ich die Vektoren als Matrix auf, bzw. rechne
> ich mit Matrizen, sieht es so aus:
>
> [mm]\pmat{ 4 & -2 & 2}[/mm] * [mm]\pmat{ -8 \\ 2 \\ 12}[/mm] = [mm]\pmat{-12}[/mm]
> (Wobei ich diese Schreibweise für merkwürdig halte. Habe
> noch nie von einer einzeiligen UND einspaltigen Matrix
> gehört.)
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> Wie auch immer, meine Frage ist, was der Grund dafür ist,
> dass wir bei Vektoren Zeile mal Zeile rechnen und bei
> Matrizen Spalte mal Zeile.
Hallo,
du sprichst hier einfach von "Multiplizieren". Das ist sehr verallgemeinert.
Im ersten Fall hast du das Skalarprodukt gebildet. (Man kann Vektoren auch nach anderen Vorschriften "multiplizieren", z.B. das Kreuzprodukt bilden).
Die Matrizenmultiplikation ist etwas ganz anderes. Das ist einfach eine Verknüpfungsvorschrift dafür, wie eine neue Matrix entsteht, wenn man je eine Matrix vom Typ m X n bzw. n X p gegeben hat.
Gruß Abakus
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 21.02.2010 | | Autor: | Flo18 |
Also haben wir es hier mit anderen Rechengesetzen zu tun?
Ist das auch der Grund, warum das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) nicht gilt? (Natürlich nur bei Multiplikationen. Bei Addition und Subtraktion funktioniert es natürlich, da auch nach den "normalen" Rechengesetzen gerechnet wird.)
Was ist denn die Ursache für die Multiplikationsregeln bei Matrizen? Ich finde es immer noch ziemlich umständlich und unlogisch.
Kann man Matrizen eigentlich auch dividieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 21.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Was ist denn die Ursache für die Multiplikationsregeln bei
> Matrizen? Ich finde es immer noch ziemlich umständlich und
> unlogisch.
Du weißt doch bestimmt, dass Matrizen mit linearen Abbildungen korrespondieren, und die Matrizenmultiplikation entspricht dann genau der Verkettung von linearen Abbildungen.
Genauer: Ist [mm]\dim V=n[/mm] und [mm]\dimv W=m[/mm], so hat man nach Einführen von Basen einen Isomorphismus von Vektorräumen [mm] $$\Phi:\operatorname{Hom}(V,W)\to\operatorname{Mat}(m\times [/mm] n).$$ Ferner ist die Menge [mm] $\operatorname{Hom}(V,W)$ [/mm] zusammen mit der Verkettung linearer Abbildungen sogar eine Algebra. Die Matrizenmultiplikation ist nun die (eindeutig bestimmte) Multiplikation auf [mm]\operatorname{Mat}(m\times n)[/mm], die [mm] $\Phi$ [/mm] zu einem Algebren-Isomorphismus macht.
In der linearen Algebra ist man eigentlich an der Struktur [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] interessiert, aber weil man damit so schlecht rechnen kann betrachtet man stattdessen den Raum [mm]\operatorname{Mat}(m\times n)[/mm] der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist dann nix weiter als die "Übersetzung der Verkettung linearer Abbildung in die Sprache der Matrizen".
Mit anderen Worten: Die Definition der Matrizenmultiplikation mag ja im ersten Moment sehr künstlich erscheinen, ist aber eigentlich vollkommen natürlich.
Gruß, Robert
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