Matrizen in Polynomen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | die aufgabe auf unserem Zettel lautet:
Sei n [mm] \ge1. [/mm] Zeigen sie: Es gibt kein Polynom f(x) [mm] \in [/mm] R(x), sodass f(A)=0-matrix für alle A [mm] \in [/mm] R^nxn
beim blättern in einem meiner bücher bin ich dann auf folgende aufgabe gestoßen:
Zu jeder quadratischen Matrix A über einem Körper K gibt es ein Polynom f [mm] \in [/mm] K(x) ohne 0, sodass f(A) die Nullmatrix ist. |
Hi!
Welche Aufgabenstellung gilt denn jetzt? Das sind ja total widersprüchliche Aussagen. Die Aufgabe in dem Buch wurde auch bewiesen und wir sollen halt zeigen (durch Widerspruch) dass es kein Polynom gibt, für das das erfüllt ist. Sehr seltsam!
Hat einer von euch ne Idee, was da falsch ist? Also welche Aussage jetzt wirklich stimmt?
Vielen Dank schonmal!
LG
Linda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Linda!
> die aufgabe auf unserem Zettel lautet:
>
> Sei n [mm]\ge1.[/mm] Zeigen sie: Es gibt kein Polynom f(x) [mm]\in[/mm]
> R(x), sodass f(A)=0-matrix für alle A [mm]\in[/mm] R^nxn
>
> beim blättern in einem meiner bücher bin ich dann auf
> folgende aufgabe gestoßen:
>
> Zu jeder quadratischen Matrix A über einem Körper K gibt es
> ein Polynom f [mm]\in[/mm] K(x) ohne 0, sodass f(A) die Nullmatrix
> ist.
Schau dir mal die fett markierten Teile an. Nur weil es zu jedem Schloss einen passenden Schluessel gibt, so muss es noch lange keinen Schluessel geben, der fuer alle Schloesser passt.
> Welche Aufgabenstellung gilt denn jetzt? Das sind ja total
> widersprüchliche Aussagen.
Nein.
Um deine Aufgabe zu beweisen, reicht es, wenn du dir ganz einfache Matrizen $A$ anschaust. Etwa Vielfache von der Einheitsmatrix. Fuer solche kannst du $f(A)$ einfach hinschreiben, wenn $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] ist.
LG Felix
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