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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:05 Mi 12.12.2007 | | Autor: | gokhant |
| Aufgabe | | Zeigen sie,dass ein A M (n x n,K) genau dann invertierbar ist ,wenn es ein B M (n x n,K) mit A*B= En gibt. |
ich weiss nicht einmal wie ich anfangen soll..was bedeutet dieses A*B = En überhaupt??
ich würde mich um jede Hilfe freuen..
Mfg gokhant
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Hallo!
A*B = [mm] E_{n} [/mm] bedeutet dass B das inverse von A ist. Wenn dies so ist dann ergibt die Multiplikation Der Matrizen A*B = [mm] E_{n} [/mm] und [mm] E_{n} [/mm] ist die Einheitsmatrix. Das sieht wie folgt aus:
[mm] E_{n}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] Das ist die Einheitsmatrix für eine 3 [mm] \times [/mm] 3 Matrix 
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 12.12.2007 | | Autor: | gokhant |
ok jetzt weiss ich was eine En ist und wie muss ich weiter vorgehen??könntest du mir vielleicht den Anfang machen und mir sagen was ich danach zu tun habe damit ich es selbst machen kann??
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Hallo!
Also wir wissen das A eine invertierbare Matrix ist und B eine Matrix mit [mm] A*B=E_{n}. [/mm] Dann wissen wir auch dass [mm] B=A^{-1} [/mm] ist. Zu zeigen ist also dass [mm] B=A^{-1} [/mm] gilt. (Das ist also die Behauptung.
Dazu forme [mm] A*B=E_{n} [/mm] so um dass du auf deine behauptung kommst. Kommst du ab hier alleine weiter?
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Hey Tyskie,
mich würde auch interessieren wie man das zeigt, weil ja eigentlich alles schon da steht.
Ich weiß A ist invertierbar, daraus folgt A*B=En
Da B=A*B=En hab ich ja quasi schon dasselbe da stehen.
Wenn ich schon weiß, dass A invertierbar ist, da weiß ich ja schon dass B=A^-1 ist.
Soviel zum denkerischen, aber wie verschriftliche ich dass auf angemessene Weise?
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Nun ja im prinzip ist das logisch dass das stimmen muss aber dennoch muss es gezeigt werde. Ich mach das mal vor.
Angenommen A ist eine invertierbare Matrix und B ist eine Matrix mit [mm] A*B=E_{n}, [/mm] dann ist [mm] B=A^{-1}. [/mm] Ebenso muss gelten dass [mm] B*A=E_{n}, [/mm] dann ist [mm] B=A^{-1}. [/mm] So nun zum Beweis.
Multipliziert man die Gleichung [mm] A*B=E_{n} [/mm] von LINKS mit [mm] A^{-1}, [/mm] so erhält man [mm] A^{-1}(A*B)=A^{-1}. [/mm] Da [mm] (A^{-1}*A)*B=E_{n}*B=B, [/mm] folgt somit [mm] B=A^{-1}. [/mm] Multipliziert man [mm] B*A=E^{n} [/mm] von RECHTS mit [mm] A^{-1}, [/mm] dann folgt ebenso [mm] B=A^{-1} [/mm]
Hoffe das ist verständlich
Gruß
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