Matrizen potenzieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] A^{25} [/mm] für A= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } \in [/mm] Mat(2 x 2; [mm] \IR)
[/mm]
Hinweis: Potenzieren Sie eine andere, geeignete Matrix.
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Hallo!
Erstmal mein eigener Ansatz. Ich habe die EIgenwerte bestimmt, die sind 3 und -1, damit ergibt sich für mich die Matrix B= [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -1 }. [/mm] Dann habe ich die Basiswechselmatrizen bestimmt um folgende Formel zu benutzen:
(id (A,B)*B*id [mm] (B,A))^{n} [/mm] = id [mm] (A,B)*B^{n}*id [/mm] (B,A), und [mm] B^{n} [/mm] ist wegen Diagmatrix = [mm] \pmat{ 3^{25} & 0 \\ 0 & -1 }.
[/mm]
Damit hätte ich als Lsg:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ -2 & -1 }*\pmat{ 3^{25} & 0 \\ 0 & -1 }*\pmat{ -1 & -\bruch{2}{3} \\ 2 & \bruch{1}{3} }
[/mm]
Ist das denn richtig so, mir kommt das komisch vor?
Danke Zweiti
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie kommst Du denn auf dieses B ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:26 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
Naja ich habe die Eigenwerte der Matrix A berechnet und dieses dann einfach zur Matrix B gemacht. Anscheinend ist das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Womit rechtfertigs Du diese Vorgehensweise ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
naja ich meine mich erinnern zu Können, dass sich eine Diagonalmatrix der Matrix A aus ihren Eigenwerten bilden lässt, und da im Hinweis steht man soll eine geeignete Matrix potenzieren, dachte ich dass diese damit gemeint ist, denn eine Diagonalmatrix lässt sich ja einfach potenzieren...
Wie muss ich denn sonst vorgehen, wenn ich jetzt auf dem Holzweg bin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Da A symmetrisch ist, ist A diagonalisierbar.
Mit Hilfe von Eigenvektoren kannst Du sie auf Diagonalgestalt bringen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
So wenn ich dann die Eigenvektoren bestimme, erhalte ich:
für den Eigenwert 3, den vektor: [mm] \vektor{\mu \\ \mu}
[/mm]
für den Eigenwert -1 den Vektor: [mm] \vektor{-\mu \\ \mu}
[/mm]
Und wie bestimme ich daraus jetzt die Diagonalmatrix?
Und mache ich dann so weiter wie ich gesagt habe, mit den Basiswechselmatrizen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast also eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] aus den Eigenvektoren
(1,1) und (-1,1).
Jetzt schaust Du mal in Deinen Unterlagen (Skript, Bücher, ) wie Du damit diagonalisierst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
Ok erstmal danke bis hierher ...
Als meine neuen Basisvektoren bilden dann die MAtrix P = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] und dann gilt:
[mm] P^{-1}*A*P= [/mm] B
Also folgt für B: [mm] \pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -2 }, [/mm] hey endlich die Diagonalmatrix
... und dann geht es hoffentlich so wie ich sagte, also ist
[mm] B^{25}= \pmat{ 6^{25} & 0 \\ 0 & -2^{25} } [/mm] und ist
dann [mm] A^{25}= P^{-1}*B^{25}*P [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
o.k.
fred
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> Ok erstmal danke bis hierher ...
>
> Als meine neuen Basisvektoren bilden dann die MAtrix P =
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] und dann gilt:
> [mm]P^{-1}*A*P=[/mm] B
> Also folgt für B: [mm]\pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -2 },[/mm] hey endlich
> die Diagonalmatrix
Hallo,
wenn Du mit den Eigenvektoren zu 3 und -1 diagonalisierst, stehen doch bei der Diagonalmatrix die Eigenwerte auf der Diagonalen.
Ich denke, daß Du Dich bei [mm] P^{-1} [/mm] verrechnest hast.
> dann [mm]A^{25}= P^{-1}*B^{25}*P[/mm] ?
Nein, wenn [mm] P^{-1}*A*P=[/mm] [/mm] B, dann ist doch [mm] A=PBP^{-1}, [/mm] und entsprechend die 25.Potenz.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Zweiti |
Oh stimmt danke, ich hab mich wirklich bei [mm] P^{-1} [/mm] verrechnet, es ist eigentlich [mm] \pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }
[/mm]
Und damit bin ich wieder bei meiner Diagonalmatrix vom Anfang, die sogar richtig war ... die Basiswechselmatrizen waren falsch ...
Danke sehr
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