Matrizen umsortieren < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 Do 02.04.2009 | | Autor: | Lessi |
| Aufgabe | | Massenmatrix für zwei Biegeebenen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorinformation (zur Lösung nicht wichtig)
bei einer sich drehenden Welle (=Stab,Balken) existiert eine Massenmatrix die wie folgt aussieht
m = [mm] \pmat{ 156 & -22*l & 54 & 13*l \\ -22*l & 4*l^{2} & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & -13*l & 156 & 22*l \\ 13l & -3l^{2} & 22*l & 4*l^{2} }
[/mm]
diese Matrix wird mit einem Vektor multipliziert
p = [mm] \vektor{w_{1} \\ \beta_{1} \\ w_{2} \\ \beta_{2}}
[/mm]
Dabei ist w eine Verschiebung und [mm] \beta [/mm] eine Verdrehung. Der Index 1 bezeichnet den linken Rand der Welle der Index 2 den rechten Rand
Soweit steht auch alles im Internet!
betrachtet man zwei Biegeebenen gibt es eine Vorschrift wie die Matrizen zu addieren sind:
[mm] \pmat{ m & 0 \\ 0 & m } [/mm] * [mm] \vektor{p \\ q}
[/mm]
der Vektor q = [mm] \vektor{v_{1} \\ \gamma_{1} \\ v_{2} \\ \gamma_{2}}
[/mm]
[mm] v_{1} [/mm] ist die Verschiebung in v-Richtung am linken Rand der Welle
[mm] v_{2} [/mm] ist die Verschiebung in v-Richtung am rechten Rand der Welle
[mm] \gamma_{1} [/mm] ist die Verdrehung am linken Rand der Welle
[mm] \gamma_{2} [/mm] ist die Verdrehung am rechten Rand der Welle
Angewendet ergibt sich [mm] \pmat{ 156 & -22*l & 54 & 13*l & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -22*l & 4*l^{2} & -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 54 & -13*l & 156 & 22*l & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 13l & -3l^{2} & 22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 156 & -22*l & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & -13*l & -3*l^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 54 & -13*l & 156 & 22*l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 13l & -3l^{2} & 22*l & 4*l^{2} } [/mm] * [mm] \vektor{w_{1} \\ \beta_{1} \\ w_{2} \\ \beta_{2} \\ v_{1} \\ \gamma_{1} \\ v_{2} \\ \gamma_{2}}
[/mm]
Jetzt zur eigentlichen Aufgabe!
Die Matrix soll so umsortiert werden dass der gesamte Vektor so aussieht:
[mm] \vektor{v_{1} \\ \gamma_{1} \\ w_{1} \\ \beta_{1} \\ v_{2} \\ \gamma_{2} \\ w_{2} \\ \beta_{2}}
[/mm]
Wenn ich das mache bekomme ich die Matrix
[mm] m_{ges} [/mm] = [mm] \pmat{ 156 & -22*l & 0 & 0 & 54 & 13*l & 0 & 0 \\ -22l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & -13l & 0 & 0 & 156 & 22*l & 0 & 0 \\ 13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 & 156 & 22l \\ 0 & 0 & 13*l & -3l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} }
[/mm]
jetzt das Problem die Lösung sollte sein
[mm] m_{ges} [/mm] = [mm] \pmat{ 156 & +22*l & 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 \\ +22l & 4*l^{2} & 0 & 0 & +13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & +13l & 0 & 0 & 156 & -22*l & 0 & 0 \\ -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 & 156 & 22l \\ 0 & 0 & 13*l & -3l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} }
[/mm]
Es müssten beide Lösungen richtig sein aber vielleicht kann mir jemand erklären warum.
Man beachte dass wenn man bei meiner Lösung Block11 mit Block33 und Block31 mit Block13 vertauscht man wieder auf die 2. (die richtige) Lösung stößt.
Ich hoffe mir kann jemand helfen ist doch nur Matrizenrechnung und eigentlich nicht mal das.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:47 Do 02.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Massenmatrix für zwei Biegeebenen
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vorinformation (zur Lösung nicht wichtig)
> bei einer sich drehenden Welle (=Stab,Balken) existiert
> eine Massenmatrix die wie folgt aussieht
> m = [mm]\pmat{ 156 & -22*l & 54 & 13*l \\ -22*l & 4*l^{2} & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & -13*l & 156 & 22*l \\ 13l & -3l^{2} & 22*l & 4*l^{2} }[/mm]
>
> diese Matrix wird mit einem Vektor multipliziert
> p = [mm]\vektor{w_{1} \\ \beta_{1} \\ w_{2} \\ \beta_{2}}[/mm]
>
> Dabei ist w eine Verschiebung und [mm]\beta[/mm] eine Verdrehung.
> Der Index 1 bezeichnet den linken Rand der Welle der Index
> 2 den rechten Rand
>
> Soweit steht auch alles im Internet!
> betrachtet man zwei Biegeebenen gibt es eine Vorschrift
> wie die Matrizen zu addieren sind:
> [mm]\pmat{ m & 0 \\ 0 & m }[/mm] * [mm]\vektor{p \\ q}[/mm]
> der Vektor q =
> [mm]\vektor{v_{1} \\ \gamma_{1} \\ v_{2} \\ \gamma_{2}}[/mm]
> [mm]v_{1}[/mm]
> ist die Verschiebung in v-Richtung am linken Rand der
> Welle
> [mm]v_{2}[/mm] ist die Verschiebung in v-Richtung am rechten Rand
> der Welle
> [mm]\gamma_{1}[/mm] ist die Verdrehung am linken Rand der Welle
> [mm]\gamma_{2}[/mm] ist die Verdrehung am rechten Rand der Welle
>
> Angewendet ergibt sich [mm]\pmat{ 156 & -22*l & 54 & 13*l & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -22*l & 4*l^{2} & -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 54 & -13*l & 156 & 22*l & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 13l & -3l^{2} & 22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 156 & -22*l & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & -13*l & -3*l^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 54 & -13*l & 156 & 22*l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 13l & -3l^{2} & 22*l & 4*l^{2} }[/mm]
> * [mm]\vektor{w_{1} \\ \beta_{1} \\ w_{2} \\ \beta_{2} \\ v_{1} \\ \gamma_{1} \\ v_{2} \\ \gamma_{2}}[/mm]
>
> Jetzt zur eigentlichen Aufgabe!
> Die Matrix soll so umsortiert werden dass der gesamte
> Vektor so aussieht:
> [mm]\vektor{v_{1} \\ \gamma_{1} \\ w_{1} \\ \beta_{1} \\ v_{2} \\ \gamma_{2} \\ w_{2} \\ \beta_{2}}[/mm]
>
> Wenn ich das mache bekomme ich die Matrix
> [mm]m_{ges}[/mm] = [mm]\pmat{ 156 & -22*l & 0 & 0 & 54 & 13*l & 0 & 0 \\ -22l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & -13l & 0 & 0 & 156 & 22*l & 0 & 0 \\ 13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 & 156 & 22l \\ 0 & 0 & 13*l & -3l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} }[/mm]
>
> jetzt das Problem die Lösung sollte sein
> [mm]m_{ges}[/mm] = [mm]\pmat{ 156 & +22*l & 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 \\ +22l & 4*l^{2} & 0 & 0 & +13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & +13l & 0 & 0 & 156 & -22*l & 0 & 0 \\ -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 & 156 & 22l \\ 0 & 0 & 13*l & -3l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} }[/mm]
>
> Es müssten beide Lösungen richtig sein aber vielleicht kann
> mir jemand erklären warum.
> Man beachte dass wenn man bei meiner Lösung Block11 mit
> Block33 und Block31 mit Block13 vertauscht man wieder auf
> die 2. (die richtige) Lösung stößt.
also ich hab' mir das jetzt mal angeguckt und komme zu folgendem:
[mm] $$M_1:=\pmat{ \blue{156} & \blue{-22*l} & 0 & 0 & 54 & 13*l & 0 & 0 \\ \blue{-22l} & \blue{4*l^{2}} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13*l \\ 0 & 0 & -22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 & -13*l & -3*l^{2} \\ 54 & -13l & 0 & 0 & 156 & 22*l & 0 & 0 \\ 13*l & -3*l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 54 & -13*l & 0 & 0 & 156 & 22l \\ 0 & 0 & 13*l & -3l^{2} & 0 & 0 & 22*l & 4*l^{2} }=:\pmat{\blue{B_{11}} & 0 & B_{13} & 0\\ 0 & B_{22} & 0 & B_{24}\\ B_{31} & 0 & B_{33} & 0\\0 & B_{42} & 0 & B_{44}}\,.$$
[/mm]
Es ist ersichtlich, wie oben die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Blockmatrix [mm] $B_{11}$ [/mm] definiert ist und damit denke ich, ist Dir auch klar, wie die anderen Blöcke dann aussehen.
Damit definieren wir
[mm] $$M_2:=\pmat{B_{33} & 0 & B_{31} &0\\ 0 & B_{22} & 0 & B_{24}\\ B_{13} & 0 & B_{11} & 0\\0 & B_{42} & 0 & B_{44}}\,.$$
[/mm]
Ferner setzen wir zur Abkürzung
[mm] $$\tilde{p}:=\vektor{\green{v_{1}} \\ \green{\gamma_{1}} \\ w_{1} \\ \beta_{1}}=:\vektor{\green{p_1}\\p_2}\,, [/mm] $$
[mm] $$\tilde{q}:=\vektor{ v_{2} \\ \gamma_{2} \\ w_{2} \\ \beta_{2}}=:\vektor{q_1\\q_2}\,.$$
[/mm]
Nun gilt
[mm] $$M_1*\vektor{\tilde{p}\\\tilde{q}}=\pmat{B_{11}\;p_1+B_{13}\;q_1\\B_{22}\;p_2+B_{24}\;q_2\\B_{31}\;p_1+B_{33}\;q_1\\B_{42}\;p_2+B_{44}\;q_2}\,,$$
[/mm]
und ferner ist
[mm] $$M_2*\vektor{\tilde{p}\\\tilde{q}}=\pmat{B_{33}\;p_1+B_{31}\;q_1\\B_{22}\;p_2+B_{24}\;q_2\\B_{13}\;p_1+B_{11}\;q_1\\B_{42}\;p_2+B_{44}\;q_2}\,.$$
[/mm]
Also:
Die Lösungen sind meiner Ansicht nach nicht gleich, selbst, wenn ich die 'Ähnlichkeiten' der Blockmatrizen beachte. Der einzige Grund, warum die gegebene Lösung doch stimmen kann, der mir gerade einfällt, könnte sein, weil Du oben davon sprichst, dass [mm] $\beta$ [/mm] eine Drehung ist. Dann hat man ja gewisse Winkeleigenschaften, aber ob das hier etwas mit der vorgeschlagenen Ergebnismatrix zu tun haben könnte, weißt Du sicher besser als ich.
Jedenfalls auch nochmal zurück zum Anfang:
Die Ausgangssituation kann man auch so notieren:
[mm] $$\pmat{ \underline{w_{1}} & \underline{\beta_{1}} & \underline{w_{2}} & \underline{\beta_{2}} & \underline{v_{1}} & \underline{\gamma_{1}} & \underline{v_{2}} & \underline{\gamma_{2}}\\ & & & & & & &\\156 & -22\cdot{}l & 54 & 13\cdot{}l & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -22\cdot{}l & 4\cdot{}l^{2} & -13\cdot{}l & -3\cdot{}l^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 54 & -13\cdot{}l & 156 & 22\cdot{}l & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 13l & -3l^{2} & 22\cdot{}l & 4\cdot{}l^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 156 & -22\cdot{}l & 54 & 13\cdot{}l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -22\cdot{}l & 4\cdot{}l^{2} & -13\cdot{}l & -3\cdot{}l^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 54 & -13\cdot{}l & 156 & 22\cdot{}l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 13l & -3l^{2} & 22\cdot{}l & 4\cdot{}l^{2} }\,.$$
[/mm]
Wenn Du das wie gewünscht umsortierst, erhälst Du
[mm] $$\pmat{ \underline{v_{1}} & \underline{\gamma_{1}} & \underline{w_{1}} & \underline{\beta_{1}} & \underline{v_{2}} & \underline{\gamma_{2}} & \underline{w_{2}} & \underline{\beta_{2}}\\ & & & & & & &\\ 0 & 0 & 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13l \\ 0 & 0 & -22l & 4l^2 & 0 & 0 & -13l & -3l^2\\ 0 & 0 & 54 & -13l & 0 & 0 & 156 & 22l\\ 0 & 0 & 13l & -3l^2 & 0 & 0 & 22l & 4l^2\\ 156 & -22l & 0 & 0 & 54 & 13l & 0 & 0 \\ -22l & 4l^2 & 0 & 0 & -13l & -3l^2 & 0 & 0 \\54 & -13l & 0 & 0 & 156 & 22l & 0 & 0 \\ 13l & -3l^2 & 0 & 0 & 22l & 4l^2 & 0 & 0}\,.$$
[/mm]
Jetzt noch die Zeilen entsprechend vertauschen, und so gelange ich jedenfalls zu Deiner Matrix [mm] $M_1\,.$ [/mm] Dass bzw. wie man zur Matrix [mm] $M_2$ [/mm] gelangt, könnte ich mir nur durch - wie bereits erwähnt - die Drehung erklären. Vielleicht siehst Du aber mit dieser 'Auseinanderpflückung' nun selber, was Du brauchst. Wirklich 'sehen' tu' ich es nicht, wie [mm] $M_2$ [/mm] entstanden sein sollte...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:33 Do 02.04.2009 | | Autor: | Lessi |
Vielen vielen Dank erst mal für deine schnelle Antwort,
ich habe nämlich schon wirklich an mir gezweifelt aber wenn du auch auf meine Lösung kommst sind wir ja wenigstens schon mal zu zweit.
Die zweite Lösung stammt aus dem Buch Maschinendynamik von Prof. Dr. Hollburg und es kann ja kaum möglich sein dass dort falsche Matrizen abgedruckt sind.
Mit der Drehung und der Ebene das habe ich mir auch schon überlegt aber ich weiß nur noch dass die 1.Ableitung die Tangentensteigung ist und die Tangentensteigung ist die negative Krümmung die wiederum wird auch als Drehwinkel bezeichnet. Ergo:
w' = - [mm] \beta
[/mm]
v' = - [mm] \gamma
[/mm]
Das habe ich aber schon in der Herleitung der Massenmatrix (4X4) für eine Biegeebene berücksichtigt
Bleibt noch der Verdacht dass es etwas damit zu tun haben könnte dass die beiden Biegeebenen rechtwinklig zueinander sind was ja bei einem Koordinatensystem der Fall ist. Das berechnet man doch mit der Orthogonalität:
[mm] m^{transponiert} [/mm] * m = Einheitsmatrix
Ich weiß aber nicht wass ich damit berechnen sollte. Muss die große Massenmatrix orthogonal sein oder nur die kleinen aus der ja die große besteht? Was mich noch nicht an diese Theorie glauben lässt ist, dass [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] ja nicht voneinande abhängen können da sonst ja auch die Verschiebung w und v abhängig voneinander sein müssten. Noch was hindert mich an diese These zu glauben: wenn [mm] \beta [/mm] = - [mm] \gamma [/mm] wäre, dann müsste sich doch jedes mal eine ganze Zeile im Vorzeichen ändern oder nicht?
Vielleicht hilft ja das Bildchen um zu sehen wie die Ebenen liegen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und das aller dümmste ist dass ich für meine Diplomarbeit ein Programm in Matlab schreibe wofür ich diese Massenmatrix in zwei Biegeebenen brauche. Das Programm ist schon fertig das Problem ist nur dass ich damals einfach die Matrizen aus dem Buch genommen habe und mir weiter keinen Kopf gemacht habe. Jetzt wo ich darüber schreibe ist mir aufgefallen dass an dieser Stelle irgendetwas nicht passt.
Die Matrix im Buch muss aber stimmen da ich bei der Berechnung der Eigenwerte richtig liege. Die Eigenwerte habe ich nämlich nachgewiesen mit der Theorie des Kontinuumschwingers (Integration über die ganze Länge eines Balkens, dadurch entstehen keine nummerischen ungenauigkeiten bei der Berechnung). Die theoretischen Eigenwerte stimmen mit meinen nummerisch berechneten Eigenwerten überein.
Ich werde jetzt noch eines versuchen die Matrix im Programm auf meine Lösung zu ändern und zu schauen ob dann die Eigenwerte immer noch richtig sind. Falls jemandem dazu noch was einfällt oder er eine Anmerkung hat schreibt mir bitte. Ich hoffe immer noch das das gar nicht so verzwickt sein kann ist bestimmt nur ne Kleinigkeit an die ich nicht denke.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:10 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Lessi |
Für alle Interessierten
ist wirklich ganz einfach:
1. Bild anschauen wo der Rotor mit dem Achsensystem dargestellt ist.
2. Vorstellen der Rotor wird um [mm] \beta_{1} [/mm] verdreht dann wandert der Schwerpunkt in - z-Richtung. [mm] \beta_{k} [/mm] ist also - [mm] w_{k}'
[/mm]
3. Vorstellen der Rotor wird um [mm] \gamma_{1} [/mm] verdreht dann wandert der Schwerpunkt in + y-Richtung. [mm] \gamma_{k} [/mm] ist also + [mm] v_{k}'
[/mm]
4. Damit vertauscht sich das Vorzeichen an den passenden Stellen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Fr 10.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Fr 03.04.2009 | | Autor: | Lessi |
Anscheinend sind die Matrizen identisch es kommen die selben Werte raus wenn ich die Matrizen aus dem Buch verwende wie wenn ich meine verwende.
Wäre trotzdem nett wenn einer eine Begründung hätte warum das so ist meiner Meinung nach sind die Matrizen nämlich nicht gleich.
Gruß Lessi
|
|
|
|
