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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | [mm] $\mathcal{A}(n)$ [/mm] Menge der [mm] $(n+1)\times(n+1)-$Matrizen [/mm] der Form
[mm] $G_{A,a}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
a & A\end{pmatrix},A\in GL(n,K),a\in K^{n}.$\\
[/mm]
Für [mm] $a\in K^{n},$ [/mm] setze [mm] $T_{a}=G_{En,a}.$\\
[/mm]
Für [mm] $A\in [/mm] GL(n,K),$ setze [mm] $\phi_{A}=G_{A,0}.$\\
[/mm]
Definiere: [mm] $\eta:\mathcal{A}(n)\rightarrow [/mm] GL(n,K)$ durch [mm] $\eta(G_{A,a})=A.$\\
[/mm]
Zeige:
(i) [mm] \mathcal(A)(n) [/mm] ist Untergruppe von GL(n+1,K)
(ii) [mm] \mathcal{T}(n)={T_a|a\in K^n} [/mm] und [mm] \mathcal{G}(n)={\phi_a|A\in GL(n,K)} [/mm] sind Untergruppen von [mm] \mathcal{A}(n)
[/mm]
(iii) Man kann jedes Element aus [mm] \mathcal{A}(n) [/mm] schreiben als
[mm] g=T_a\phi_A [/mm] und [mm] g=\phi_BT_b, [/mm] mit [mm] a,b\in K^n [/mm] und [mm] A,B\in [/mm] GL(n,K).
(iv) gilt [mm] T_a\phi_A=\phi_BT_b [/mm] mit a,b,A,B so definiert wie in (iii), so ist A=B.
(v) gilt (iv), so muss nicht a=b sein. |
Hallo,
das sieht auf den ersten Blick viel aus, ist es aber eigtl nicht. Ich habe auch nur einige kleine Fragen dazu.
Zu (i): Die Untergruppeneigenschaft soll übrigens bzgl. der Matrizenmultiplikation gezeigt werden. Für die Abgeschlossenheit komme ich zu:
g,h [mm] \in \mathcal{A}(n), [/mm] dann: [mm] gh=\begin{pmatrix}1 & 0\\
a & A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\
b & B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0\\
a_{1}+\sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i}\\
\vdots & & AB\\
a_{n}+\sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i}\end{pmatrix}\in\mathcal{A}(n).
[/mm]
Stimmt die Matrix am Ende?
Wie mache ich jetzt aber den Teil mit dem Inversen, also wie zeige ich [mm] g\in \mathcal{A}(n)\Rightarrow g^{-1}\in \mathcal{A}(n). [/mm] Mein größtes Problem ist halt, dass ich nicht weiß, wie das Inverse genau aussieht, weil wenn ich 2 Matrizen multipliziere erhalte ich eben viele Summen in der ersten Spalte (siehe Abgeschlossenheit).
Der Rest ist hier klar.
Zu (ii). Ich nehme an [mm] g=G_{A,a} [/mm] und zeige dann, dass [mm] T_a\phi_A=G_{A,a}. [/mm] Das funktioniert ja noch super. Aber ich kann nicht annehmen, dass [mm] g=G_{B,b} [/mm] und dann berechnen [mm] \phi_BT_b, [/mm] denn dann erhalte ich wieder eine Matrix mit Summen in der ersten Spalte. Oder muss ich dann da nur sagen, dass die erste Spalte eben trotzdem wieder in [mm] K^n [/mm] liegt und damit das Produkt in [mm] \mathcal{A}(n) [/mm] und darf vorher die Annahme mit [mm] g=G_{B,b} [/mm] einfach nicht machen? Letztenendes kann ja auch in der ersten Spalte des Ergebnisses nicht der Vektor (1,b) stehen, denn dann würde (v) keinen Sinn machen. Wie kann ich das dennoch korrekt formalisieren?
Wenn ich (ii) habe, kriege ich den Rest schnell hin, denke ich.
Gruß Unk
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Sa 04.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Unk!
> [mm]\mathcal{A}(n)[/mm] Menge der [mm](n+1)\times(n+1)-[/mm]Matrizen der Form
>
> [mm]$G_{A,a}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
a & A\end{pmatrix},A\in GL(n,K),a\in K^{n}.$\\[/mm]
>
> Für [mm]a\in K^{n},[/mm] setze [mm]T_{a}=G_{En,a}.[/mm][mm] \\[/mm]
> Für [mm]A\in GL(n,K),[/mm]
> setze [mm]\phi_{A}=G_{A,0}.[/mm][mm] \\[/mm]
> Definiere:
> [mm]\eta:\mathcal{A}(n)\rightarrow GL(n,K)[/mm] durch
> [mm]\eta(G_{A,a})=A.[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Zeige:
> (i) [mm]\mathcal(A)(n)[/mm] ist Untergruppe von GL(n+1,K)
> (ii) [mm]\mathcal{T}(n)=\{T_a|a\in K^n\}[/mm] und
> [mm]\mathcal{G}(n)=\{\phi_a|A\in GL(n,K)\}[/mm] sind Untergruppen von
> [mm]\mathcal{A}(n)[/mm]
> (iii) Man kann jedes Element aus [mm]\mathcal{A}(n)[/mm] schreiben
> als
> [mm]g=T_a\phi_A[/mm] und [mm]g=\phi_BT_b,[/mm] mit [mm]a,b\in K^n[/mm] und [mm]A,B\in[/mm]
> GL(n,K).
> (iv) gilt [mm]T_a\phi_A=\phi_BT_b[/mm] mit a,b,A,B so definiert wie
> in (iii), so ist A=B.
> (v) gilt (iv), so muss nicht a=b sein.
>
> Hallo,
>
> das sieht auf den ersten Blick viel aus, ist es aber eigtl
> nicht. Ich habe auch nur einige kleine Fragen dazu.
>
> Zu (i): Die Untergruppeneigenschaft soll übrigens bzgl.
> der Matrizenmultiplikation gezeigt werden.
Ja, ansonsten ist $GL(n+1, k)$ auch keine Gruppe :)
> Für die
> Abgeschlossenheit komme ich zu:
> g,h [mm]\in \mathcal{A}(n),[/mm] dann: [mm]gh=\begin{pmatrix}1 & 0\\
a & A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\
b & B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0\\
a_{1}+\sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i}\\
\vdots & & AB\\
a_{n}+\sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i}\end{pmatrix}\in\mathcal{A}(n).[/mm]
>
> Stimmt die Matrix am Ende?
Ja, du kannst sie allerdings auch umschreiben: sie ist gerade [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a + A b & A B \end{pmatrix}$. [/mm] Damit kannst du auch einfacher das Inverse bestimmen:
> Wie mache ich jetzt aber den Teil mit dem Inversen, also
> wie zeige ich [mm]g\in \mathcal{A}(n)\Rightarrow g^{-1}\in \mathcal{A}(n).[/mm]
> Mein größtes Problem ist halt, dass ich nicht weiß, wie
> das Inverse genau aussieht, weil wenn ich 2 Matrizen
> multipliziere erhalte ich eben viele Summen in der ersten
> Spalte (siehe Abgeschlossenheit).
Es muss $A B = [mm] E_n$ [/mm] sein und $a + A b = 0$; dies ist der Fall, wenn $B = [mm] A^{-1}$ [/mm] ist und $b = [mm] -A^{-1} [/mm] a$.
> Der Rest ist hier klar.
>
> Zu (ii). Ich nehme an [mm]g=G_{A,a}[/mm] und zeige dann, dass
> [mm]T_a\phi_A=G_{A,a}.[/mm] Das funktioniert ja noch super.
Genau. Das ist allerdings (iii) und nicht (ii) :)
> Aber ich
> kann nicht annehmen, dass [mm]g=G_{B,b}[/mm] und dann berechnen
> [mm]\phi_BT_b,[/mm] denn dann erhalte ich wieder eine Matrix mit
> Summen in der ersten Spalte.
Ja, da musst du auch etwas geschickter vorgehen. Verwende erstmal meine einfachere Matrix, um [mm] $\phi_B T_b$ [/mm] auszurechnen. Wie musst du jetzt $B$ und $b$ waehlen, damit [mm] $G_{A,a}$ [/mm] herauskommt?
LG Felix
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