Matrizen zu lin.Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 11.01.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Geben Sie die n×n-Matrizen an, die zu den folgenden linearen Abbildungen
[mm] \Phi [/mm] : [mm] IR^4 [/mm] → [mm] IR^4 [/mm] (i = 1...4) gehören:
a) [mm] \Phi_1 [/mm] ist die Spiegelung an der Hyperebene [mm] a^\perp, [/mm] wo a = (0, 1, 0, 0) [mm] \in IR^4 [/mm] ist.
b) [mm] \Phi_2 [/mm] ist die Orthogonalprojektion auf einen 2-dimensionalen linearen Unterraum U, der durch die Orthonormalbasis u1 = ( 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2) und u2 = ( 1/2 , 1/2 , -1/2 , -1/2) aufgespannt wird.
c) [mm] \Phi_33 [/mm] = [mm] \Phi_1 [/mm] ◦ [mm] \Phi_1
[/mm]
d) [mm] \Phi_4 [/mm] = [mm] \Phi_2 [/mm] ◦ [mm] \Phi_2
[/mm]
|
Hallo!
Ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Zuerst einmal was genau ist eine Hyperebene?Ist das die Ebene zwischen den Ursprungsgeraden?
Aber a ist ja nur ein Vektor, also wird doch an einer Geraden gespiegelt, oder?
LG Pestaiia
|
|
| |
|
> Geben Sie die n×n-Matrizen an, die zu den folgenden
> linearen Abbildungen
> [mm]\Phi[/mm] : [mm]IR^4[/mm] → [mm]IR^4[/mm] (i = 1...4) gehören:
> a) [mm]\Phi_1[/mm] ist die Spiegelung an der Hyperebene [mm]a^\perp,[/mm] wo
> a = (0, 1, 0, 0) [mm]\in IR^4[/mm] ist.
> b) [mm]\Phi_2[/mm] ist die Orthogonalprojektion auf einen
> 2-dimensionalen linearen Unterraum U, der durch die
> Orthonormalbasis u1 = ( 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2) und u2 = (
> 1/2 , 1/2 , -1/2 , -1/2) aufgespannt wird.
> c) [mm]\Phi_33[/mm] = [mm]\Phi_1[/mm] ◦ [mm]\Phi_1[/mm]
> d) [mm]\Phi_4[/mm] = [mm]\Phi_2[/mm] ◦ [mm]\Phi_2[/mm]
>
> Hallo!
> Ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Zuerst
> einmal was genau ist eine Hyperebene?
Hallo,
das ist ein n-1-dimensionaler Unterraum eines n-dimensionalen Raumes.
> Ist das die Ebene
> zwischen den Ursprungsgeraden?
> Aber a ist ja nur ein Vektor, also wird doch an einer
> Geraden gespiegelt, oder?
Nein, Du sollst spiegeln an [mm] a^{\perp}.
[/mm]
Dieser Unterraum enthält all die vektoren, die senkrecht zu a sind,
ist hier also (freundlicherweise) der von [mm] \vektor{1\\0\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] aufgespannte Unterraum.
Wiie die Spiegelung vonstatten geht, überleg Dir am besten mal bei der Spielgelung an einer Ebene im [mm] \IR^3: [/mm] die Vektoren, die parallel zur Ebene liegen, werden auf sich selbst abgebildet, die zur Spiegelebene senkrechten "klappen" um.
Damit steht der Matrix dann nichts mehr im Wege.
Gruß v. Angela
> LG Pestaiia
|
|
|
|
