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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Di 15.08.2006 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zur Matrix
A = [mm] \pmat{ 3 & 6 \\ 1 & 2 } [/mm] alle 2x2 Matrizen X für die gilt:
X*A=A*X= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] |
Hallo,
ich habe mir zu dieser Aufgabe folgendes überlegt:
Ich setze für X die Variablen a, b, c, d ein, also sowas: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Dann multipliziere ich das aus und bekomme für A*X:
3a+6c=0
1a+2c=0
3b+6d=0
1b+2d=0
und für X*A:
3a+1b=0
3c+1d=0
6a+2b=0
6c+2d=0
Soweit so gut, wenn ich aber weiterrechnen will bekomme ich immer nur Gleichungen mit 0=0 raus, also keine Werte für a, b, c und d.
Ist der Ansatz schon falsch oder steh ich beim Auflösen der Gleichungen auf dem Schlauch?
Danke schonmal im Voraus!
Gruß
Jan
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Hallo Jan,
wenn du mal genau hinsiehst, stellst du fest, dass von deinen 8 Gleichungen je zwei äquivalent sind:
1. und 2.
3. und 4.
5. und 7.
6. und 8.
Also nehmen wir mal nur die Gleichungen 2, 4, 5 und 6:
a + 2c = 0
b + 2d = 0
3a + b = 0
3c + d = 0
Nun formen wir um:
a = -2c
b = -2d
b = -3a = -3*(-2c) = 6c
d = -3c
Wir sehen also schon mal, dass man alles beispielsweise von c abhängig machen kann. Wir müssen nun prüfen, ob die Gleichung b = -2d damit verträglich ist. Also setzen wir die von c abhängigen Terme ein:
b = -2d [mm] \gdw [/mm] 6c = -2*(-3c) = 6c klappt!
Also erhalten wir:
a = -2c
b = 6c
d = -3c
c = c
Für c können wir jede relle (koplexe) Zahl einsetzen und daraus die anderen Matrixeinträge errechnen.
Gruß
Martin
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