Matrizenbeweis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=384781
ich hab eine Beweisaufgabe zu erledigen, weiß aber noch nicht, wie ich die angehen soll.
Ich könnte halt ein Beispiel nennen:
[mm] A=\vektor{1 \\ 0}, B=\pmat{ 1 & 1 }, [/mm] m=2, k=1, n=2
[mm] AB=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
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Hier fehlt die eigentliche Aufgabe, und im anderen Forum ist ja schon eine Diskussion angelaufen.
Viel Erfolg!
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Nur antwortet dort keiner. Es wär halt schön, wenn du dir das anschauen könntest. Die Aufgabenstellung lautet ja:
Es sei C element M(m x n) eine Matrix von Rang k. Man beweise: Es gibt Matrizen A element M(m x k) und B element M(k x n) mit C=AB
Ich hab mir was überlegt, und das steht in meinem letzten Beitrag. Ich möchte wissen, ob meine Überlegung richtig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nur antwortet dort keiner. Es wär halt schön, wenn du dir
> das anschauen könntest. Die Aufgabenstellung lautet ja:
>
> Es sei C element M(m x n) eine Matrix von Rang k. Man
> beweise: Es gibt Matrizen A element M(m x k) und B element
> M(k x n) mit C=AB
>
> Ich hab mir was überlegt, und das steht in meinem letzten
> Beitrag. Ich möchte wissen, ob meine Überlegung richtig
> ist.
nein. Die Aufgabenstellung ist so zu verstehen:
Wenn [mm] $m\,,n$ [/mm] irgendwelche natürliche Zahlen sind und wenn $C$ irgendeine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist, dann ist zu zeigen, dass sich $C$ als das Produkt zweier solcher Matrizen $A,B$ schreiben läßt.
Du kannst Dur quasi nur vorgeben, dass Dein $C$ diese Struktur hat:
[mm] $$C=\pmat{ c_{1,1} & c_{1,2} & ... & ...& ... & c_{1,n} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & ... & ...& ...& c_{2,n} \\ ... & ... & ... & ...& ...& ...\\ ...& ...& ... & ... & ... & ... \\ ...& ...& ... & ... & ... & ... \\ c_{m,1} & c_{m,2} & ...& ...& ... & c_{m,n}}\,.$$
[/mm]
Für so eine Matrix (ohne, dass Du $m,n$ und die Einträge konkret kennst; du weißt nur, dass der Rang von $C$ gerade $=k [mm] \le \min\{m,n\}$ [/mm] ist) sollst Du die Existenz entsprechender $A,B$ wie oben beweisen.
Schau' vll. mal nach in der Vorlesung behandelten Algorithmen...
Edit: Oh, Du hattest da schon was im Link geschrieben. Naja, meine Antwort bezog sich eigentlich nur auf das "Beispiel" hier...
Gruß,
Marcel
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Jo genau
Man soll ja zeigen, dass sich C als Produkt zweier solcher Matrizen darstellen lässt.
Für A hab ich eine Matrix mit Rang k genommen, die Nullzeilen von k+1 bis m enthält, und für B die transponierte Matrix A, wo es egal ist was in den Spalten von k+1 bis n steht.
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Bist Du sicher, dass die Wahl Deiner Matrizen allgemein genug ist? Ich nicht.
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Warum? Ich hab echt keinen vernünftigen Ansatz. Könntest du mir bitte auf die Sprünge helfen?
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Deine beiden Matrizen A [mm] (m\times \a{}k) [/mm] und B [mm] (k\times \a{}n) [/mm] haben beide höchstens den Rang [mm] \a{}k. [/mm] Es ist daher nicht nur unnötig, ihnen eine besondere Form zu geben, sondern vor allem eine gefährliche Beschränkung der Lösungsmöglichkeiten für C.
Geh andersherum vor: Du hast ein C mit Rang [mm] \a{}k [/mm] und eine [mm] (m\times \a{}k) [/mm] -Matrix A mit Rang k. Kannst Du dann die Matrix B bestimmen? Welchen Rang muss sie haben?
lg,
reverend
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Diese muss dann auch den Rang k haben.
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Ja, ok. A,B und C haben also den Rang k.
Und wie bestimmst Du nun B, wenn Du C und A hast?
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[mm] \pmat{ a_{11} & ... & a_{1k}~ |~ c_{11} & ... & c_{1n} \\ ... & ... & ...~ |~ ... & ... &... \\ a_{m1} & ... & a_{mk}~ |~ c_{m1} & ... & c_{mn}} [/mm]
Und dann halt links eine Einheitsmatrix draus machen.
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Wie macht man eine Einheitsmatrix aus einer [mm] m\times \a{}k [/mm] -Matrix?
Du willst doch zeigen (Aufgabe), dass zu jeder Matrix C ... Matrizen A und B ... existieren. Du musst keine davon berechnen, aber zeigen, dass es sie gibt.
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Meinst du eine Abbildungsmatrix, die aus einer m x k -Matrix die Einheitsmatrix macht, oder einfach nur den unteren Teil k+1 bis m weglassen, also k x k?
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Sorry für den lahmen Dialog; ich bin gerade ganz anders beschäftigt.
Die Frage ist doch diese:
Du hast eine [mm] m\times\a{}n [/mm] -Matrix (nämlich C) und eine [mm] m\times\a{}k [/mm] -Matrix (nämlich A), beide mit Rang k. Nun willst Du eine [mm] k\times\a{}n [/mm] -Matrix (nämlich B) finden, so dass [mm] A\times\a{}B=C. [/mm] Den Rang von B kennst Du, aber wie findest Du diese Matrix, wenn C und A gegeben sind?
Wenn Du so nicht weiterkommst, such Dir doch mal ein Beispiel, z.B. mit m=3, n=4, k=2. Daran gibt es schon eine Menge zu entdecken (mehr mit größerem k, aber das wird schnell unübersichtlich).
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bitte diese Mitteilung löschen, bin auf den falschen Knopf gekommen.
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Hab ich das nicht schon vorher geschrieben? Das man sich eben die Einträge von A und C in eine Matrix mit einem senkrechten Strich hinschreibt.
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Hast Du. Es funktioniert aber leider so nur bei quadratischen Matrizen.
Nimm doch mal ein Beispiel. Gegeben sei [mm] 4\times \a{}3 [/mm] -Matrix [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \\ 1 & 2 & -1}
[/mm]
Bestimme ihren Rang. Er wird 2 sein.
Dann such zwei Matrizen
[mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ a_{41} & a_{42}}
[/mm]
und
[mm] B=\pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} },
[/mm]
so dass [mm] A\times \a{}B=C.
[/mm]
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[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1} \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & -5 }
[/mm]
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Wunderbar.
Wie hast Du sie gefunden? Kannst Du das verallgemeinern und v.a. zeigen, dass das für jede [mm] m\times \a{}n [/mm] -Matrix mit Rang k geht/gilt?
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Dort liegt eben mein Problem. Ich hab irgendwie rumprobiert. Zuerst hab ich mir ein paar Werte festgelegt und dann den Rest angeschaut, wie ich die Zahlen setzen muss, damit es alles passt.
Aber da gibt es sicherlich eine exakte Methode.
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Ja, es geht exakt. Aber es reicht hier, zu zeigen, dass es überhaupt geht.
Ich weiß nicht mehr so recht, wie ich Dir den Weg andeuten soll.
Vielleicht ein letzter Versuch.
Nimm an, es gäbe zwei weitere Matrizen [mm] A'_{i\times \a{}m} [/mm] und [mm] B'_{n\times \a{}i}, [/mm] so dass
[mm] A'\times C\times \a{}B'=E_{i\times \a{}i} [/mm] sowie [mm] A'_{i\times \a{}m}*A_{m\times \a{}k}*B_{k\times \a{}n}*B'_{n\times \a{}i}=E_{i\times \a{}i}
[/mm]
Aufgrund des schon bekannten Rangs von A,B,C darfst Du nun i=k setzen. Inwiefern hilft Dir das für die Bestimmung von A' oder B' oder vielleicht sogar B'*A'?
Im übrigen gehe ich jetzt schlafen. Wer eine bessere Hilfestellung weiß, darf herzlich gerne "dazwischenfunken". Ich komme morgen gern wieder dazu, notfalls mit einer Lösung. Auch die darf gern schon vorher gegeben werden, ich weiß nicht, wann ich wieder Zeit fürs Forum habe.
Gute Nacht,
rev
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:56 Sa 20.12.2008 | | Autor: | TommyAngelo |
Willst du auf die transponierte oder inverse Matrix hinaus? So was in der Art hab ich mir auch schon überlegt.
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> Willst du auf die transponierte oder inverse Matrix hinaus?
> So was in der Art hab ich mir auch schon überlegt.
Hallo,
so bringt das nix!
Du machst es den Helfern schwer.
Damit, daß Du "sowas" "auch schon überlegt hast", kann man nämlich überhaupt nichts anfangen, weil man ja nicht weiß, was genau Du überlegt hast.
Wir wollen nicht wissen, daß Du etwas überlegt hast, sondern wir wollen die Ergebnisse der Überlegung hier schriftlich niedergelegt sehen, damit sie geprüft werden können.
Nicht zuletzt zwingt Dich das, Dir selbst Rechenschaft über Deine Gedanken abzulegen und eventuelle Ungereimtheiten und Lücken aufzuspüren und zu formulieren.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich klinke mich an dieser Stelle mal ein, denn ich habe den unguten Verdacht, daß Du zwar weißt, wie man den Rang einer Matrix ausrechnet, aber nicht die Definition kennst bzw. diese vergessen hast.
Wie ist der Rang definiert?
Was haben die Zeilen einer Matrix mit ihrem Rang zu tun?
Erst, wenn Du das geklärt hast, wende Dich der nächsten Frage zu:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1} \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & -5 }[/mm]
>
Was hat denn die zweite Matrix mit der Matrix C, die herauskommt bei der Multiplikation, zu tun?
Gruß v. Angela
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Wenn man eine Matrix in Zeilenstufenform bringt, ist der Rang gleich der Anzahl der Stufen.
Es werden Zeilenumformungen gemacht.
Also die 1. Zeile von C ist gleich der 1. Zeile von B.
Und die 2. Zeile von C ist gleich 3mal der 1. + der 2. von B
Und das hat bestimmt was mit dem Rang k (hier k=2) zu tun.
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> Wenn man eine Matrix in Zeilenstufenform bringt, ist der
> Rang gleich der Anzahl der Stufen.
Hallo,
das stimmt.
Ich hatte Dich allerdings eigentlich nach der Definition gefragt. Habt Ihr den Rang tatsächlich über die ZSF definiert?
>
> Es werden Zeilenumformungen gemacht.
> Also die 1. Zeile von C ist gleich der 1. Zeile von B.
> Und die 2. Zeile von C ist gleich 3mal der 1. + der 2. von
> B
Aha. Die Zeilen der Matrix haben also etwas mit den Zeilen von C zu tun.
Sie sind eine Basis des Zeilenraumes von C.
> Und das hat bestimmt was mit dem Rang k (hier k=2) zu tun.
Was hat der Rang mit dem Zeilenraum zu tun?
Gruß v. Angela
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Der Rang ist dann die Dimension des Zeilenraums, oder?
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Hallo Tommy,
> Der Rang ist dann die Dimension des Zeilenraums, oder? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo
LG
schachuzipus
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Also muss die Matrix B k linear unabhängige Zeilen haben und A darf keine Nullspalte haben, sonst haben wir einen Rang von k-1. Somit muss auch die Matrix A k linear unabhängige Spalten haben.
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Jaaa....
Aber wussten wir das nicht schon alles vor einer ganzen Weile?
Bist Du schon einen Schritt weiter zu dem, was zu zeigen war?
Erinnerung: zu jedem C existieren A und B, so dass...
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Jede Matrix C mit Rang k muss sich also in zwei Matrizen A und B zerlegen lassen (C=AB), solange A und B auch den Rang k haben.
Aber speziell kann ich dir die Einträge von A und B nicht sagen, ich weiß nur, dass der Rang k sein muss, der Rest ist dann ausprobieren.
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So kommst Du doch nicht weiter.
Nimm mal die von Marcels notierte allgemeine Matrix C:
[mm] $$C=\pmat{ c_{1,1} & c_{1,2} & ... & ...& ... & c_{1,n} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & ... & ...& ...& c_{2,n} \\ ... & ... & ... & ...& ...& ...\\ ...& ...& ... & ... & ... & ... \\ ...& ...& ... & ... & ... & ... \\ c_{m,1} & c_{m,2} & ...& ...& ... & c_{m,n}}\,.$$ [/mm]
Sie soll, gemäß Voraussetzung, den Rang [mm] k\le \min{(m,n)} [/mm] haben.
Nun nimmst Du Dir eine [mm] m\times \a{}k [/mm] -Matrix A mit maximalem Rang [mm] \a{}k, [/mm] z.B.:
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 2 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 2 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & 1 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 2=a_{k,k} \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1=a_{m,k} }
[/mm]
Präziser: alle [mm] a_{i,i}=2 [/mm] mit [mm] 1\le i\le \a{}k, [/mm] alle anderen [mm] a_{j,l}=1 [/mm] mit [mm] 1\le j\le \a{}m,\ 1\le l\le \a{}k.
[/mm]
Dies ist ohne Zweifel eine Matrix mit Rang k.
Nun bestimme die [mm] k\times \a{}n [/mm] -Matrix B.
Das geht ohne Probieren!
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Es ist der obere k x k - Teil. Jo, man nimmt k linear unabhängige Vektoren des Zeilenraums von C. Diese schreibt man dann als Zeilen und erhält B. Und in A sind dann die Koeffizienten für die Linearkombinationen der Zeilen aus B, um auf die restlichen linear abhängigen Zeilen von C zu kommen.
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> Es ist der obere k x k - Teil. Jo, man nimmt k linear
> unabhängige Vektoren des Zeilenraums von C. Diese schreibt
> man dann als Zeilen und erhält B. Und in A sind dann die
> Koeffizienten für die Linearkombinationen der Zeilen aus B,
> um auf die restlichen linear abhängigen Zeilen von C zu
> kommen.
Hallo,
das klingt jetzt ganz manierlich.
Nun versuche einen Beweis.
Gruß v. Angela
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[mm] \pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ a_{(k+1)1} & a_{(k+1)2} & ... & a_{(k+1)k} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mk}}\pmat{ c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{k1} & c_{k2} & ... & c_{kn} }=\pmat{ c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{k1} & c_{k2} & ... & c_{kn} \\ c_{(k+1)1} & c_{(k+1)2} & ... & c_{(k+1)n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{m1} & c_{m2} & ... & c_{mn}}
[/mm]
[mm] b_{ij}=c_{ij} [/mm] für i=1,...,k und j=1,...,n
[mm] a_{ij}=\delta_{ij} [/mm] für i,j=1,...,k
[mm] c_{(k+1)1}=a_{(k+1)1}c_{11} [/mm] + [mm] a_{(k+1)2}c_{21} [/mm] + ... + [mm] a_{(k+1)k}c_{k1}
[/mm]
[mm] c_{(k+1)2}=a_{(k+1)1}c_{12} [/mm] + [mm] a_{(k+1)2}c_{22} [/mm] + ... + [mm] a_{(k+1)k}c_{k2}
[/mm]
[mm] c_{(k+1)n}=a_{(k+1)1}c_{1n} [/mm] + [mm] a_{(k+1)2}c_{2n} [/mm] + ... + [mm] a_{(k+1)k}c_{kn}
[/mm]
[mm] c_{m1}=a_{m1}c_{11} [/mm] + [mm] a_{m2}c_{21} [/mm] + ... + [mm] a_{mk}c_{k1}
[/mm]
[mm] c_{m2}=a_{m1}c_{12} [/mm] + [mm] a_{m2}c_{22} [/mm] + ... + [mm] a_{mk}c_{k2}
[/mm]
[mm] c_{mn}=a_{m1}c_{1n} [/mm] + [mm] a_{m2}c_{2n} [/mm] + ... + [mm] a_{mk}c_{kn}
[/mm]
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ a_{(k+1)1} & a_{(k+1)2} & ... & a_{(k+1)k} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mk}}\pmat{ c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{k1} & c_{k2} & ... & c_{kn} }=\pmat{ c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{k1} & c_{k2} & ... & c_{kn} \\ c_{(k+1)1} & c_{(k+1)2} & ... & c_{(k+1)n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_{m1} & c_{m2} & ... & c_{mn}}[/mm]
>
> [mm]b_{ij}=c_{ij}[/mm] für i=1,...,k und j=1,...,n
> [mm]a_{ij}=\delta_{ij}[/mm] für i,j=1,...,k
> [mm]c_{(k+1)1}=a_{(k+1)1}c_{11}[/mm] + [mm]a_{(k+1)2}c_{21}[/mm] + ... +
> [mm]a_{(k+1)k}c_{k1}[/mm]
> [mm]c_{(k+1)2}=a_{(k+1)1}c_{12}[/mm] + [mm]a_{(k+1)2}c_{22}[/mm] + ... +
> [mm]a_{(k+1)k}c_{k2}[/mm]
> [mm]c_{(k+1)n}=a_{(k+1)1}c_{1n}[/mm] + [mm]a_{(k+1)2}c_{2n}[/mm] + ... +
> [mm]a_{(k+1)k}c_{kn}[/mm]
> [mm]c_{m1}=a_{m1}c_{11}[/mm] + [mm]a_{m2}c_{21}[/mm] + ... + [mm]a_{mk}c_{k1}[/mm]
> [mm]c_{m2}=a_{m1}c_{12}[/mm] + [mm]a_{m2}c_{22}[/mm] + ... + [mm]a_{mk}c_{k2}[/mm]
> [mm]c_{mn}=a_{m1}c_{1n}[/mm] + [mm]a_{m2}c_{2n}[/mm] + ... + [mm]a_{mk}c_{kn}[/mm]
>
Hallo,
fürs Verständnis dessen, was Du schreibst, fehlen verbindene und erklärende Worte.
Man müßte ja z.B. schon wissen, was die [mm] a_i_k [/mm] sein sollen
Ich bin etwas skeptisch:
[mm] \pmat{1&2\\4&8\\ 1&1}=\pmat{1&0\\0&1\\ a_3_1&a_2_2}*\pmat{1&2\\4&8}, [/mm] ob das wohl klappen wird?
Gruß v. Angela
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Ne, weil die Matrix ganz rechts den Rang 1 hat. Sie muss aber den Rang 2 haben.
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