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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 23.08.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^3 [/mm] sei die Ursprungsebene [mm] \gamma [/mm] = [mm] [\vec{a}, \vec{b}] [/mm] gegeben mit [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (1,-1,1)^{T} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{e_{2}}. [/mm] Weiterhin sei L : [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] die Spiegelung an [mm] \gamma.
[/mm]
a) Geben Sie [mm] L(\vec{0}), L(\vec{a}), L(\vec{b}) [/mm] und [mm] L(\vec{a} \times \vec{b}) [/mm] an.
b)Bestimmen Sie die Matrizendarstellung von L, d.h., eine Matrix M mit [mm] L(\vec{x}) [/mm] = M * [mm] \vec{x} [/mm] für alle [mm] \vec{x} \in \IR^3 [/mm] .
c) Für den Punkt [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{e_{1}} [/mm] bestimme man [mm] L(\vec{x}) [/mm] sowie den Abstand [mm] d(\vec{x}, \gamma [/mm] ). |
Hey Leute,
generell muss ich sagen, dass ich noch einig Probleme habe mit den linearen Abbildungen. Ich fang einfach mal an...
a) [mm] L(\vec{0}) [/mm] : Da die Ursprungsebene durch den Nullpunkt geht ist die Spiegelung des Nullpunkts an sich selber wieder der Nullpunkt, also [mm] L(\vec{0}) [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] L(\vec{a}), L(\vec{b}) [/mm] : Für beide Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] gilt: Da sie die Spiegelebene aufspannen sind sie ebenfalls in ihr enthalten und können nicht an ihr gespiegelt werden. [mm] L(\vec{a}) [/mm] = [mm] \vec{a}, L(\vec{b}) [/mm] = [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] L(\vec{a} \times \vec{b}) [/mm] : Da das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren den Normalenvektor der Spiegelebene ergibt gilt: [mm] L(\vec{a} \times \vec{b}) [/mm] = [mm] -(\vec{a} \times \vec{b})
[/mm]
b) Für die Matrizendarstellung hab ich leider kein Lösungsrezept parat... HILFE!
c) ergibt sich leider erst, wenn ich b) gelöst habe...
Danke für eure Hilfe!!!
Gruß, marcello
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 23.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo marcello!
> Im [mm]\IR^3[/mm] sei die Ursprungsebene [mm]\gamma[/mm] = [mm][\vec{a}, \vec{b}][/mm]
> gegeben mit [mm]\vec{a}[/mm] = [mm](1,-1,1)^{T}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] =
> [mm]\vec{e_{2}}.[/mm] Weiterhin sei L : [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm] die
> Spiegelung an [mm]\gamma.[/mm]
>
> a) Geben Sie [mm]L(\vec{0}), L(\vec{a}), L(\vec{b})[/mm] und
> [mm]L(\vec{a} \times \vec{b})[/mm] an.
> b)Bestimmen Sie die Matrizendarstellung von L, d.h., eine
> Matrix M mit [mm]L(\vec{x})[/mm] = M * [mm]\vec{x}[/mm] für alle [mm]\vec{x} \in \IR^3[/mm].
> c) Für den Punkt [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{e_{1}}[/mm] bestimme man
> [mm]L(\vec{x})[/mm] sowie den Abstand [mm]d(\vec{x}, \gamma[/mm] ).
> Hey Leute,
>
> generell muss ich sagen, dass ich noch einig Probleme habe
> mit den linearen Abbildungen. Ich fang einfach mal an...
>
> a) [mm]L(\vec{0})[/mm] : Da die Ursprungsebene durch den Nullpunkt
> geht ist die Spiegelung des Nullpunkts an sich selber
> wieder der Nullpunkt, also [mm]L(\vec{0})[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
Genau. Wenn das nicht so waer, waer $L$ auch garantiert keine lineare Abbildung.
> [mm]L(\vec{a}), L(\vec{b})[/mm] : Für beide Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm]
> gilt: Da sie die Spiegelebene aufspannen sind sie ebenfalls
> in ihr enthalten und können nicht an ihr gespiegelt
> werden. [mm]L(\vec{a})[/mm] = [mm]\vec{a}, L(\vec{b})[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm]
> [mm]L(\vec{a} \times \vec{b})[/mm] : Da das Kreuzprodukt der beiden
> Spannvektoren den Normalenvektor der Spiegelebene ergibt
> gilt: [mm]L(\vec{a} \times \vec{b})[/mm] = [mm]-(\vec{a} \times \vec{b})[/mm]
Ja.
> b) Für die Matrizendarstellung hab ich leider kein
> Lösungsrezept parat... HILFE!
Nun, [mm] $\vec [/mm] a, [mm] \vec [/mm] b, [mm] \vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b$ bilden eine Basis des [mm] $\IR^3$. [/mm] Und bezueglich dieser Basis hast du die Darstellungsmatrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }$. [/mm] Stelle die Basiswechselmatrix auf, invertiere sie, und transformieren.
LG Felix
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Hey Felix!
> Nun, [mm]\vec a, \vec b, \vec a \times \vec b[/mm] bilden eine Basis
> des [mm]\IR^3[/mm]. Und bezueglich dieser Basis hast du die
> Darstellungsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm].
Meine erste Frage ist: Wie bist du auf die Darstellungsmatrix gekommen? Habe gerade nochmal den Artikel auf matheraum.de über Darstellungsmatrizen gelesen und ich kann keinen Bezug zu diesem Beispiel herstellen.
Ich habe also die Basis B= [mm] \{ \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 } \}.
[/mm]
Jetzt muss ich irgendwie über die Beziehung [mm] f(v)=f(x_1\cdot{}a_1 [/mm] + ... [mm] +x_n\cdot{}a_n)=x_1\cdot{}f(a_1) [/mm] + ... [mm] +x_n\cdot{}f(a_n) [/mm] auf meine Darstellungsmatrix kommen. Kann es sein, dass ich diese schon durch einfachen einsetzen der Lösungen aus a komme? Denn, wenn ich eine Spiegelung als lineare Abbildung habe gilt ja
[mm] f(\vec [/mm] a) = [mm] \vec [/mm] a , [mm] f(\vec [/mm] b) = b und [mm] f(\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b) = [mm] -(\vec [/mm] a [mm] \times \vec [/mm] b). Hmm, ich bekomme den Bogen nicht gespannt...
> Stelle die Basiswechselmatrix auf, invertiere sie, und
> transformieren.
Könntest du die Vorgehensweise für die Berechnung der Basiswechselmatrix kurz erläutern?
Danke für deine hilfe!
Gruß,marcello
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Hallo marcello,
> Hey Felix!
>
> > Nun, [mm]\vec a, \vec b, \vec a \times \vec b[/mm] bilden eine Basis
> > des [mm]\IR^3[/mm]. Und bezueglich dieser Basis hast du die
> > Darstellungsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm].
>
> Meine erste Frage ist: Wie bist du auf die
> Darstellungsmatrix gekommen?
Na, wie das halt so üblich geht ...
> Habe gerade nochmal den
> Artikel auf matheraum.de über Darstellungsmatrizen gelesen
> und ich kann keinen Bezug zu diesem Beispiel herstellen.
Puh, es gibt hier haufenweise threads, in denen das Prinzip erklärt wird und Aufgaben auch durchgerechnet werden ...
> Ich habe also die Basis B= [mm]\{ \vec a, \vec b, \vec a \times \vec b \}[/mm]
> = [mm]\{ \vektor{1 \\ -1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 } \}.[/mm]
>
> Jetzt muss ich irgendwie über die Beziehung
> [mm]f(v)=f(x_1\cdot{}a_1[/mm] + ... [mm]+x_n\cdot{}a_n)=x_1\cdot{}f(a_1)[/mm]
> + ... [mm]+x_n\cdot{}f(a_n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf meine Darstellungsmatrix
> kommen.
Die Darstellungsmatrix von L bzgl. der obigen Basis $\{\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times\vec{b}\}$ bestimmst du wie üblich, indem du die Basisvektoren unter $L$ abbildest und die Bilder dann als LK der Basisvektoren darstellst.
Die Koordinaten, die in dieser LK auftauchen, stopfst du als Spalten in die gesuchte Matrix.
Dabei liefert dir das Verfahren für den i-ten Basisvektor die i-te Spalte der Matrix.
Im einzelnen:
erster Basisvektor ist $\vec{a}$
Oben hast du schon berechnet: $L(\vec{a})=\vec{a}$
Das stellen wir als LK der Basisvektoren dar: $\vec{a}=\red{1}{\cdot{}\vec{a}+\red{0}\cdot{}\vec{b}+\red{0}\cdot{}(\vec{a}\times\vec{b})$
Damit haben wir die erste Spalte der Darstellungsmatrix, nämlich $\vektor{\red{1}\\\red{0}\\\red{0}}$
Genauso bestimme mal die anderen Spalten ...
> Kann es sein, dass ich diese schon durch einfachen
> einsetzen der Lösungen aus a komme? Denn, wenn ich eine
> Spiegelung als lineare Abbildung habe gilt ja
> [mm]f(\vec[/mm] a) = [mm]\vec[/mm] a , [mm]f(\vec[/mm] b) = b und [mm]f(\vec[/mm] a [mm]\times \vec[/mm]
> b) = [mm]-(\vec[/mm] a [mm]\times \vec[/mm] b). Hmm, ich bekomme den Bogen
> nicht gespannt...
Es ist einfacher als du denkst 
Schiebe mal komplizierte Gedanken beiseite ...
>
> Danke für deine hilfe!
>
> Gruß,marcello
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 25.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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